Distanza con prodotto scalare non standard

[LucaI]

Ciao a tutti,

mi capita di avere, nello spazio vettoriale
[tex]X = C^0[0, \pi][/tex],
sul quale è definito il prodotto scalare
[tex]fg = \int_0^\pi f(t)g(t) dt[/tex],
due funzioni: [tex]f(t) = sin t[/tex] e [tex]g(t) = sin(2t)[/tex].
Devo calcolare la distanza tra le due funzioni.

Ok, chiamata [tex]d(f, g)[/tex] la distanza tra f(t) e g(t), e chiamato [tex]h(t) = f(t) - g(t)[/tex], so che [tex]d(f, g) = ||<h,h>_B || = \sqrt{<h, h>_B}[/tex].
Bene, diciamo che una possibilità sarebbe quella di prendere l'integrale e fare direttamente:
[tex]d(f, g) = \sqrt{\int_0^\pi h(t)h(t) dt} = \sqrt{\int_0^\pi (sin(t) - sin(2t))^2 dt}[/tex]

Ok, diciamo che un modo un attimino migliore per fare il calcolo è scegliere [tex]sin(t)[/tex] e [tex]sin(2t)[/tex] come base e calcolarsi la matrice B associata al prodotto scalare.

Per la cronaca: [tex]B = \begin{bmatrix}\frac{\pi}{2} & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{2}\end{bmatrix}[/tex]

Gli integrali in questo caso sono un momento più maneggevoli, ma non di tanto e allora mi chiedevo (e perdonatemi se sto scrivendo una fesseria gigantesca):

non è che per caso la meravigliosa matrice B esiste un modo (la vogliamo chiamare magia?) per calcolarla più rapidamente?
Se ad esempio ho [tex]sin(t), sin(2t), sin(3t)[/tex] la matrice è, se non ho calcolato male, [tex]B = \begin{bmatrix}\frac{\pi}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{2}\end{bmatrix}[/tex]
Tutto questo ha per caso a che fare con la trasformata di Fourier alla quale mi pare abbia fatto accenno il prof. Gobbino in qualche video lezione?

Sorry per il lungo post e per le inevitabili bestialità che avrò scritto.

Ciao, L-

[LucaI]

Gli zeri sono dovuti al fatto che [tex]sin(t)[/tex] e [tex]sin(2t)[/tex] sono tra loro ortogonali.
Il perché lo siano e come si dimostri mi è oscuro...

[LucaI]

Fermo restando che a questo punto sono più i dubbi delle certezze, ho trovato una spiegazione (che non ho ancora fatto in tempo a leggere per intero) su "Matematica per l'ingegneria dell'informazione" di G.C.Barozzi, che, se non ho capito male, dice che nello spazio di dimensione N delle funzioni continue (e non ho approfondito quante volte integrabili, presumo infinitamente) una base ortogonale è costituita dalla N + 1 funzioni così fatte: 1/2, cos(x), sin(x), cos(2x), sin(2x), …, cos(Nx), sin(Nx).
Tra loro sono ortogonali (presenta la dimostrazione) e l'integrale [tex]\int_{-\pi}^\pi cos(hx)cos(kx) dx = \int_{-\pi}^\pi sin(hx)sin(kx) dx = \begin{cases} \pi, h = k \\ 0, h \ne k\end{cases}[/tex].

Ovviamente nel caso sopra avevo l'intervallo [tex][0, \pi][/tex] e conseguente dimezzamento del valore dell'integrale.

Mi permangono dubbi in generale che forse la lettura del capitolo aiuterà a dissipare.

L-

[Massimo Gobbino]

Gli zeri sono dovuti al fatto che [tex]sin(t)[/tex] e [tex]sin(2t)[/tex] sono tra loro ortogonali.
Il perché lo siano e come si dimostri mi è oscuro...

Questo è un facile esercizio di analisi 1 che si fa tutti gli anni. Un qualunque prodotto di seni e/o coseni si può sempre trasformare in una somma mediante le opportune formule trigonometriche che, guarda caso, si chiamano internazionalmente product to sum. A quel punto l'integrale di un prodotto, oggetto strano, diventa l'integrale di una somma, che si sa fare facilmente e tende a venire nullo quando si ha a che fare con funzioni trigonometriche integrate su un periodo ...

[Massimo Gobbino]

Tutto questo ha per caso a che fare con la trasformata di Fourier alla quale mi pare abbia fatto accenno il prof. Gobbino in qualche video lezione?

Tutto questo è la serie di Fourier in versione edulcorata, cioè finito dimensionale. La serie di Fourier altro non è che una base ortonormale in dimensione infinita, ed è costituita dagli autovettori di un'applicazione lineare simmetrica in dimensione infinita (c'è sotto un mega teorema spettrale). Maggiori dettagli si trovano nella seconda parte del corso SSSUP 2013/2014.

[LucaI]

Grazie professore.

[Massimo Gobbino]

nello spazio di dimensione N delle funzioni continue (e non ho approfondito quante volte integrabili, presumo infinitamente) una base ortogonale è costituita dalla N + 1 funzioni così fatte: 1/2, cos(x), sin(x), cos(2x), sin(2x), …, cos(Nx), sin(Nx).

Per essere precisi ... lo spazio delle funzioni continue è di dimensione infinita ... e poi bisogna precisare definite dove ...

Quello che è vero è che le N+1 funzioni che hai scritto generano un sottospazio di dimensione N+1 dello spazio delle funzioni continue in [tex][0,2\pi][/tex], e sono una base ortogonale del sottospazio stesso.

[LucaI]

Grazie professore, leggo solo oggi la risposta ed in effetti mi raccapriccio da solo per parecchie delle cose che ho scritto!