Simulazione scritto d'esame 4

[Gabe]

ma allora, se ho capito bene, per determinare i sottospazi nei quali la forma è definita positiva (o negativa) si posso utilizzare:

- il completamento dei quadrati

- Sylvester (in alcuni casi)

- gli autovettori (ortogonali) corrispondenti agli autovalori positivi (o negativi)

Si possono usare in tutti i casi gli autovettori?

[Gabe]

Ho ancora qualche dubbio, più che altro vorrei vedere se ho capito bene:

Prendiamo una matrice A, questa la posso diagonalizzare, se consentito, mediante Autovettori; se questa non si può diagonalizzare la posso portare in forma canonica di Jordan (Reale e/o Complessa).

Prendiamo una matrice B, simmetrica, questa è sicuramente diagonalizzabile e la posso diagonalizzare mediante gli Autovettori, i quali sono ortogonali; Il Teorema Spettrale dice che una matrice simmetrica è diagonalizzabile mediante una base ortonormale, ma non una qualsiasi, per esempio una base ortonormale è quella data dagli autovettori.

Consideriamo una Forma quadratica (che può essere def. positiva/negativa, indef. etc.) e la sua matrice associata B, simmetrica, questa può sempre essere diagonalizzata, e lo possiamo fare mediante gli autovettori, ottenendo una matrice diagonale D, che posso utilizzare per scrivere la Forma in un altra maniera più pulita.

Consideriamo un Prodotto scalare e la sua matrice B (che può essere def. positiva/negativa, indef. etc.), simmetrica, io posso trovare una base ortonormale, mediante gli autovettori, i quali poi dovranno essere ortogonalizzati e ortonormalizzati rispetto al nuovo prodotto scalare.
Se però B è definita positiva, io posso prendere una base qualsiasi, partire dal primo vettore e proseguire con GS sempre secondo il prodotto scalare definito.

Ho capito qualcosa, o sono proprio fuori strada?

[GIMUSI]

Ho ancora qualche dubbio, più che altro vorrei vedere se ho capito bene:

Prendiamo una matrice A, questa la posso diagonalizzare, se consentito, mediante Autovettori; se questa non si può diagonalizzare la posso portare in forma canonica di Jordan (Reale e/o Complessa).

ti riporto una sintesi che avevo già fatto in un altro thread sulla diagonalizzazione/jordanizzazione:

In generale io l'ho capita così (lez. 37-44):

1 - Teoremi vari: una matrice qualsiasi ([tex]n*n[/tex] a coeff. reali o complessi) è diagonalizzabile se e solo se per ogni autovalore [tex]\lambda[/tex] risulta [tex]MG(\lambda)=MA(\lambda)[/tex] (si dimostra infatti che questo garantisce l'esistenza di una base di autovettori); caso particolare: se gli autovalori sono tutti distinti per ogni [tex]\lambda[/tex] risulta [tex]MG(\lambda)=MA(\lambda)=1[/tex]; caso ultraparticolare (teorema spettrale): una matrice reale simmetrica si diagonalizza mediante una base ortonormale (di autovettori).

2 - Teorema forma di jordan in [tex]C[/tex]: una matrice qualsiasi ([tex]n*n[/tex] a coeff. reali o complessi) è sempre jordanizzabile; ad ogni autovalore [tex]\lambda[/tex] corrispondono [tex]MG(\lambda)[/tex] blocchi di jordan tali che la somma delle dimensioni dei blocchi risulti pari a [tex]MA(\lambda)[/tex] (il caso della diagonalizzazione può essere considerato un caso particolare di jordanizzazione con tutti i blocchi di dimensione [tex]1*1[/tex]).

3 - Teorema forma di jordan reale: ogni matrice reale si può portare nella forma di jordan reale; in generale una matrice [tex]n*n[/tex] a coeff. reali si jordanizza in [tex]C[/tex]; se esistono autovalori complessi questi si presentano a coppie coniugate (la traccia = somma dei [tex]\lambda[/tex] è un numero reale) allora i rispettivi 2 blocchi [tex]k*k[/tex] si possono "sostituire" con un unico blocco a coefficienti reali [tex]2k*2k[/tex] fatto di k blocchetti 2x2 sulla diagonale con accanto ("sopra") [tex]k-1[/tex] blocchetti di [tex]I_2_*_2[/tex].

Prendiamo una matrice B, simmetrica, questa è sicuramente diagonalizzabile e la posso diagonalizzare mediante gli Autovettori, i quali sono ortogonali; Il Teorema Spettrale dice che una matrice simmetrica è diagonalizzabile mediante una base ortonormale, ma non una qualsiasi, per esempio una base ortonormale è quella data dagli autovettori.

come osservato prima, una matrice simmetrica (a coefficienti reali) è diagonalizzabile mediante una base ortonormale (di autovettori; lo metto tra parentesi perché quando si parla di diagonalizzazione è scontato che la base sia costituita, per definizione, da autovettori)

non è del tutto corretto affermare che gli autovettori di una matrice simmetrica sono tutti ortogonali fra loro; più precisamente sono (gratuitamente) ortogonali gli autovettori corrispondenti ad autovalori distinti; se un autovalore ha molteplicità (algebrica) maggiore di uno allora ad esso corrisponde un autospazio per il quale si può determinare (non gratuitamente) una base ortogonale (di autovettori);

Consideriamo una Forma quadratica (che può essere def. positiva/negativa, indef. etc.) e la sua matrice associata B, simmetrica, questa può sempre essere diagonalizzata, e lo possiamo fare mediante gli autovettori, ottenendo una matrice diagonale D, che posso utilizzare per scrivere la Forma in un altra maniera più pulita.

esatto, nella nuova base (fatta di autovettori ortonormali), la forma quadratica si presenta in frac solo con i termini diagonali (spariscono i fastidiosi e ineleganti termini misti)

Consideriamo un Prodotto scalare e la sua matrice B (che può essere def. positiva/negativa, indef. etc.), simmetrica, io posso trovare una base ortonormale, mediante gli autovettori, i quali poi dovranno essere ortogonalizzati e ortonormalizzati rispetto al nuovo prodotto scalare.
Se però B è definita positiva, io posso prendere una base qualsiasi, partire dal primo vettore e proseguire con GS sempre secondo il prodotto scalare definito.

Ho capito qualcosa, o sono proprio fuori strada?

l'argomento "prodotto scalare" è piuttosto scivoloso...cerco di riepilogarti le cose essenziali (per come le ho intese io):

- ogni prodotto scalare, rispetto ad una certa base assegnata, può essere espresso nella forma (lez. 53): [tex]x^tBy[/tex]

- l'elemento [tex]b_i_j[/tex] della matrice associata al prodotto scalare nella base data [tex]v_1,v_2,...,v_n[/tex] è: [tex]<v_i,v_j>[/tex]

- se B è definita positiva si può applicare GS (extended mode) e ortogonalizzare e ortonormalizzare la base dei [tex]v_i[/tex] in una nuova base di [tex]w_i[/tex]

- rispetto alla nuova base la matrice associata al prodotto scalare diventa la matrice identità (infatti grazie al trattamento GS [tex]<w_i,w_j>=0[/tex] e [tex]<w_i,w_i>=1[/tex])

- se M è la matrice di cambio base (quella che ha per colonne i [tex]w_i[/tex]) allora [tex]M^tBM=I[/tex]

in tutto questo gli autovalori e autovettori non c'entrano nulla...e con questi concetti chiari in mente si affrontano bene gli esercizi delle schede n.44 e 45 e anche i temi di esame visti finora

poi ci sono gli argomenti più avanzati ("Teorema B-Spettrale" e "Vera definizione di segnatura") trattati nelle schede 46 e 47 nei quali gli autovalori e autovettori entrano in gioco...

[Massimo Gobbino]

Aggiungo solo qualche commento all'ottimo riassunto di GIMUSI, cercando di cogliere il punto che sta all'origine dei dubbi di Gabe.

Il punto fondamentale è la doppia natura delle matrici ... da un lato le abbiamo usate per rappresentare *applicazioni lineari* rispetto ad opportune basi, dall'altra per rappresentare *forme quadratiche* (o prodotti scalari, che alla fine è lo stesso), sempre rispetto ad opportune basi. Sono sempre matrici, ma sotto ci stanno due concetti distinti e distanti.

Per entrambi i concetti ci si pone il problema delle forme canoniche, cioè di rispondere alla seguenti domande:

1. come cambia la matrice se cambio la base?
2. Quanto può diventare bella la matrice se scelgo la base giusta?

La risposta è completamente diversa nei due casi.

Nel caso delle applicazioni lineari, se la matrice iniziale è A, ed il cambio di base ha matrice M, allora la nuova matrice diventa [tex]M^{-1}AM[/tex]. Questo risponde alla domanda 1. La risposta alla domanda 2 è data dalla diagonalizzazione/jordanizzazione: scegliendo bene M posso fare in modo che [tex]M^{-1}AM[/tex] sia di Jordan (o diagonale, che è un caso particolare di Jordan). Ovviamente quando viene diagonale le colonne di M, cioè i vettori della nuova base, sono i corrispondenti autovettori (ed in generale non sono ortogonali tra di loro, a meno che la A di partenza non fosse simmetrica e con tutti gli autovalori distinti).

Nel caso dei prodotti scalari, se la matrice iniziale è A, ed il cambio di base ha matrice M, allora la nuova matrice diventa [tex]M^{t}AM[/tex]. Questo risponde alla domanda 1. La risposta alla domanda 2 è data dalla Sylvester's law of inertia, che poi non è altro che l'esercizio 3b della scheda a pagina 54 del fascicolo di esercizi: scegliendo bene M posso fare in modo che [tex]M^{t}AM[/tex] sia diagonale con solo 1, -1, 0 sulla diagonale. Il numero di uni, meno uni e zeri sono proprio i 3 numerini magici della segnatura. Il caso particolare è quello dei prodotti definiti positivi: in tal caso posso fare in modo che la matrice [tex]M^{t}AM[/tex] sia diagonale con tutti uni, cioè identica; quando lo faccio le colonne di M, cioè la nuova base, sarà ortonormale rispetto al prodotto scalare di partenza (e la posso trovare ad esempio con GS).

I discorsi fatti sulla diagonalizzazione delle forme quadratiche hanno qualcosa a che fare con autovalori/autovettori? La risposta è, come quasi sempre, *ni*. Infatti riguardando usi completamente diversi delle matrici, a priori non avrebbero davvero nulla a che fare. *Ma* poi c'è il teorema spettrale che spiazza tutti ... Prendiamo una matrice A che rappresenta un prodotto scalare, e dunque è simmetrica. Per il teorema spettrale la possiamo diagonalizzare nel senso delle applicazioni lineari, cioè trovare M tale che [tex]M^{-1}AM[/tex] sia diagonale (quello che finisce sulla diagonale sono gli autovalori di A). Insisto che si tratta del primo tipo di diagonalizzazione, quello con l'inversa di M a sinistra. Tuttavia, il teorema spettrale dice pure che la M diagonalizzante è ortogonale, cioè [tex]M^{-1}=M^t[/tex], dunque la diagonalizzazione del primo tipo è anche una diagonalizzazione del secondo tipo, cioè di quelle con la trasposta di M a sinistra. Quindi le colonne di M sono pure ortogonali rispetto al prodotto scalare definito da A (occhio, non ortonormale, perchè sulla diagonale non ci sono necessariamente degli uni, ma gli autovalori di A). Tuttavia, a questo punto basta normalizzare opportunamente ed ecco ottenuta la forma canonica del prodotto scalare prevista dalla Sylvester's law (Sylvester, sempre lui). Morale: due concetti completamente diversi (le forme canoniche delle applicazioni lineari e dei prodotti scalari) diventano imparentati grazie a teorema spettrale.

E ora veniamo agli aspetti operativi: come trovo le matrici richieste dalle domande 1 e 2 nei casi di applicazioni lineari e prodotti scalari?

Per le applicazioni lineari non ci sono alternative: polinomio caratteristico, autovalori, autovettori. Questo vuol dire che praticamente l'operazione riesce solo nei casi "fatti apposta" in cui si riescono a trovare le radici del polinomio (che è il punto debole del procedimento).

Per i prodotti scalari volendo si può fare allo stesso modo: polinomio caratteristico, autovalori, autovettori, normalizzazione finale. In tutto ciò autovalori ed autovettori non c'entrano nulla, come spiegato sopra, ma sono solo un mezzo per raggiungere il fine, giustificato dal teorema spettrale. Come osservato sopra, questo metodo ha il suo punto debole nel dover trovare le radici del polinomio. Fortunatamente tutto ciò si può by-passare nel caso delle forme. Ci sono infatti almeno 3 metodi per sapere quanti uni, meno uni e zeri ci saranno alla fine senza dover trovare gli autovalori ... e ci sono metodi anche per trovare la base "Sylvestrizzante", ad esempio GS se sappiamo già che alla fine ci saranno solo uni.

Concludo indicando una possibile proceduta per la Sylvestrizzazione: completando i quadrati sappiamo quanti uni aspettarci e sappiamo trovare un sottospazio di quella dimensione su cui il prodotto è definito positivo; facendo GS su quel sottospazio sistemiamo la parte di uni. Poi passiamo al sottospazio ortogonale e sistemiamo i meno uni. Poi facciamo ancora l'ortogonale e abbiamo sistemato gli zeri. È più difficile a dirsi che a farsi ... Sarebbe un utile esercizio imparare a Sylvestrizzare le forme ed i prodotti scalari che ci sono nel fascicolo di esercizi, non limitandosi a quelli definiti positivi.

[Gabe]

Grazie mille ad entrambi per le spiegazioni, ora mi sento più sicuro!

Come osservato sopra, questo metodo ha il suo punto debole nel dover trovare le radici del polinomio. Fortunatamente tutto ciò si può by-passare nel caso delle forme. Ci sono infatti almeno 3 metodi per sapere quanti uni, meno uni e zeri ci saranno alla fine senza dover trovare gli autovalori ... e ci sono metodi anche per trovare la base "Sylvestrizzante", ad esempio GS se sappiamo già che alla fine ci saranno solo uni.

Concludo indicando una possibile proceduta per la Sylvestrizzazione: completando i quadrati sappiamo quanti uni aspettarci e sappiamo trovare un sottospazio di quella dimensione su cui il prodotto è definito positivo; facendo GS su quel sottospazio sistemiamo la parte di uni. Poi passiamo al sottospazio ortogonale e sistemiamo i meno uni. Poi facciamo ancora l'ortogonale e abbiamo sistemato gli zeri. È più difficile a dirsi che a farsi ... Sarebbe un utile esercizio imparare a Sylvestrizzare le forme ed i prodotti scalari che ci sono nel fascicolo di esercizi, non limitandosi a quelli definiti positivi.

Questo però non mi è chiaro, cioè se prendo una matrice B associata ad una forma quadratica, calcolo il polinomio caratteristico e non riesco a trovare le radici; allora posso utilizzare Sylvester o Cartesio o il Completamento dei quadrati per vedere la segnatura (uni, meno uni e zeri?), ma poi? come arrivo agli autovalori? o alla base Jordanizzante?

[Massimo Gobbino]

Questo però non mi è chiaro, cioè se prendo una matrice B associata ad una forma quadratica, calcolo il polinomio caratteristico e non riesco a trovare le radici; allora posso utilizzare Sylvester o Cartesio o il Completamento dei quadrati per vedere la segnatura (uni, meno uni e zeri?), ma poi? come arrivo agli autovalori? o alla base Jordanizzante?

Come dicevo sopra, non ha senso cercare gli autovalori delle forme quadratiche, così come non ha senso diagonalizzarle (mediante una M e la sua inversa) o Jordanizzarle. Quelle sono operazioni che hanno senso solo per le applicazioni lineari.

Le forme quadratiche ha senso solo Sylvestrizzarle (cioè renderle diagonali con uni, meno uni e zeri) mediante una M e la sua trasposta. Nel caso in cui sono definite positive la Sylvestrizzazione si fa con GS a partire da una base qualsiasi. Nel caso generale è un po' più complicato, come descritto sopra.

[GIMUSI]

Aggiungo solo qualche commento all'ottimo riassunto di GIMUSI, cercando di cogliere il punto che sta all'origine dei dubbi di Gabe.
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Concludo indicando una possibile proceduta per la Sylvestrizzazione: completando i quadrati sappiamo quanti uni aspettarci e sappiamo trovare un sottospazio di quella dimensione su cui il prodotto è definito positivo; facendo GS su quel sottospazio sistemiamo la parte di uni. Poi passiamo al sottospazio ortogonale e sistemiamo i meno uni. Poi facciamo ancora l'ortogonale e abbiamo sistemato gli zeri. È più difficile a dirsi che a farsi ... Sarebbe un utile esercizio imparare a Sylvestrizzare le forme ed i prodotti scalari che ci sono nel fascicolo di esercizi, non limitandosi a quelli definiti positivi.

alla faccia del "qualche commento"...c'è "in nuce" l'intero corso...mi ha chiarito molti aspetti...se dovesse mai fare un testo di algebra lineare questa sintesi ci andrebbe sicuramente...

molto interessante la sylvesterizzazione...la avevo affrontata nelle schede teoriche ma non ho mai provato ad applicarla...proverò su qualche esempio per vedere meglio come funziona

[Gabe]

Ora mi è tutto più chiaro!

[GIMUSI]

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Concludo indicando una possibile proceduta per la Sylvestrizzazione: completando i quadrati sappiamo quanti uni aspettarci e sappiamo trovare un sottospazio di quella dimensione su cui il prodotto è definito positivo; facendo GS su quel sottospazio sistemiamo la parte di uni. Poi passiamo al sottospazio ortogonale e sistemiamo i meno uni. Poi facciamo ancora l'ortogonale e abbiamo sistemato gli zeri. È più difficile a dirsi che a farsi ... Sarebbe un utile esercizio imparare a Sylvestrizzare le forme ed i prodotti scalari che ci sono nel fascicolo di esercizi, non limitandosi a quelli definiti positivi.

allego un caso nel quale ho applicato la procedura di sylvesterizzazione mediante il completamento dei quadrati...

non capito se è un caso ma i tre sottospazi ottenuti dal completamento dei quadrati erano già ortogonali fra loro ...dalla descrizione fatta sulla procedura mi sarei aspettato di doverli ortogonalizzare...

ho anche provato ad applicare la procedura tramite gli autovettori...il calcolo è molto più complesso (da fare a mano) e mi sono fermato al primo autovettore