Massimo Gobbino wrote:GIMUSI wrote:
ma non saprei come determinarne una in generale
Beh, produrre una base ortonormale è equivalente a produrre una matrice ortogonale. Si tratta quindi di trovare una matrice ortogonale con una riga (o colonna?) "costante". Una delle 2 opzioni è quasi banale da trovare, quindi l'altra pure! (Lo so, sono stato un po' criptico, ma il mio vuole essere solo un aiutino).
l'aiutino ha prodotto i seguenti (scarsissimi) progressi:
- operare per riga o per colonna direi che è lo stesso...visto che [tex]M^-^1=M^t[/tex] anche la trasposta è una matrice ortogonale
- in dimensione [tex]n[/tex] la papabile riga o colonna costante è necessariamente [tex]1/\sqrt n[/tex] (che nell'interpretazione geometrica è proprio il vettore "diagonale dell'ipercubo" normalizzato)
- se si parte dalla riga costante i vettori della base sono le colonne della matrice ortonormale...se si parte dalla colonna costante i vettori della base cercata sono le righe...
- mi pare che sia plausibile anche il caso di prima riga uguale a prima colonna (il che equivale a dire che il vettore "diagonale dell'ipercubo" normalizzato fa parte della base)
- ad esempio per n=4 una matrice del genere è la seguente:
[tex]\begin{matrix}
1/2 & 1/2 & 1/2 & 1/2 \\
1/2 & 1/2 & -1/2 & -1/2 \\
1/2 & -1/2 & 1/2 & -1/2 \\
1/2 & -1/2 & -1/2 & 1/2
\end{matrix}[/tex]
detto questo non riesco ad individuare un criterio furbo per costruire la matrice nel caso generale
con svolgimento del test n.36 "Basi ortogonali e ortonormali 1"
