Applicazioni lineari 6

[GIMUSI]

Ma questo l'avevo capito, l'unica mia obiezione era come facesse ad essere v1,...,vn una base di V .... come scrivi all'inizio?

è semplicemente una assunzione visto che V ha base finita

Uhm ... sì ma poi dici anche che i primi k sono una base del nucleo e i restanti sono una base dell'immagine... ma se il nucleo contiene l'immagine questo non è possibile.

è il teorema della lezione 19...se il [tex]Ker(f)[/tex] ha dimensione [tex]k[/tex] allora [tex]Im(f)[/tex] ha dimensione [tex]n-k[/tex]...

il [tex]Ker(f)[/tex] si riferisce allo spazio in partenza (sono i vettori che in partenza vanno a finire in zero)...[tex]Im(f)[/tex] all'arrivo...quindi per una applicazione da [tex]V[/tex] a [tex]V[/tex] è possibile che [tex]Im(f)[/tex] sia contenuto in [tex]Ker(f)[/tex]

ti faccio un esempio che forse non è proprio uguale ma rende l'idea...[tex]2x-2[/tex] manda 1 in zero("Ker")...e 3/2 in 1("Im" che appartiene al "Ker")

[13700]

Scusami, ma non ci capiamo: quello che avrei detto io è che
V ha base v1 ... vn
ker(f) ha base w1 ... wk
Im(f) ha base u1...u(n-k)

Da come l'hai scritta tu io capivo che la base del ker(f) unita alla base dell'Im(f) fa una base di V. Questo è falso, no?

[13700]

mi sono un po' perso...vorrei ragioniare su un punto per volta...la conclusione del esercizio 1 valgono?...[tex]END(V,W)[/tex] è uno spazio vettoriale e le applicazioni [tex]f_i_j(v_i)=a_i_jf(w_j)[/tex] con i [tex]v_i[/tex] base di [tex]V[/tex] e i [tex]w_j[/tex] base di [tex]W[/tex] sono una sua base ?

Beh sì, se tu dovessi solo dare una applicazione da V in W, ma qui il fatto è che bisogna dare una applicazione da R^3 in R^3 che fa così e cosà su V e W che sono sottospazi di R^3.
Per definire una applicazione da R^3 a R^3 dobbiamo dire che fa sui vettori di una base di R^3. Ora, a me viene in realtà una cosa molto simile alla tua, ma in cui chiedo che i vettori che tu non specifichi vadano in 0.
Tipo, fissiamo v1=(1,0,-1) e v2=(1,-1,0) e v3=(1,2,3). Questi sono una base di R^3. Adesso, se io scelgo dei numeri reali k,h,m,n qualsiasi, anche nulli, e impongo che
f(v1)=kv3, f(v2)=hv3, f(v3)=mv1+nv2
allora ho sicuramente definito una applicazione lineare che rispetta le richieste.
Se scelgo (k,h,m,n)=(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1) ottengo 4 applicazioni lineari che sicuramente generano lo spazio in questione e che dovrebbero essere linearmente indipendenti... e sono le tue, in cui però ho anche imposto di volta in volta che i vettori della base su cui non specifico la funzione vadano a 0.
Ma forse era quello che intendevi tu...?

[GIMUSI]

Scusami, ma non ci capiamo: quello che avrei detto io è che
V ha base v1 ... vn
ker(f) ha base w1 ... wk
Im(f) ha base u1...u(n-k)

Da come l'hai scritta tu io capivo che la base del ker(f) unita alla base dell'Im(f) fa una base di V. Questo è falso, no?

hai ragione...l'ho proprio scritta male...la base di Im(f) sono come detto i trasformati degli [tex]n-k[/tex] vettori della base di [tex]V[/tex] che non sono base del [tex]Ker[/tex]...

quindi per ricapitolare diciamo che:

se V ha base [tex]v_1 ... v_n[/tex]

e ker(f) ha base [tex]v_1 ... v_k[/tex]

Im(f) ha base [tex]u_1...u_n_-_k[/tex] con [tex]u_i=f(v_i)[/tex]

essendo[tex]u_1...u_n_-_k[/tex] linearmente indipendenti se [tex]Im(f)\subseteq Ker(f)[/tex] deve risultare [tex]n-k\leq k[/tex]

direi che questo lo abbiamo chiarito...ora aggiorno il pdf relativo in rev01

[GIMUSI]

...Tipo, fissiamo v1=(1,0,-1) e v2=(1,-1,0) e v3=(1,2,3). Questi sono una base di R^3. Adesso, se io scelgo dei numeri reali k,h,m,n qualsiasi, anche nulli, e impongo che
f(v1)=kv3, f(v2)=hv3, f(v3)=mv1+nv2
allora ho sicuramente definito una applicazione lineare che rispetta le richieste.
Se scelgo (k,h,m,n)=(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1) ottengo 4 applicazioni lineari che sicuramente generano lo spazio in questione e che dovrebbero essere linearmente indipendenti... e sono le tue, in cui però ho anche imposto di volta in volta che i vettori della base su cui non specifico la funzione vadano a 0.
Ma forse era quello che intendevi tu...?

con riferimento al punto (3b)...quando si parla di spazio vettoriale delle applicazioni e dicevo che le applicazioni elementari:

[tex]f_1(v_1)=(1,2,3)[/tex], [tex]f_2(v_2)=(1,2,3)[/tex], [tex]f_3(v_3)=v_1[/tex], [tex]f(v_3)=v_2[/tex]

sono una base, intendevo che qualunque [tex]f[/tex] che gode delle proprietà richieste si può scrivere come combinazione lineare delle [tex]f_i[/tex]:

[tex]f=a_1f_1+a_2f_2+a_3f_3+a_4f_4[/tex]

credo che sia utile se sei d'accordo analizzare tutti i punti dei vari esercizi a partire dal primo in modo da affrontere i vari nodi in modo ordinato e condividerne i dubbi

[GIMUSI]

Beh allora è inutile andare avanti: se non contiene lo 0, non è un sottospazio di End(quellarobalì), no?

Esatto: non è un sottospazio per ragioni burocratiche: manca lo zero! Se non fosse per quello, lo sarebbe!

a beh ok...manca lo zero ma nel senso che la [tex]f_0[/tex] (l'applicazione nulla) non soddisfa la condizione richiesta che [tex]Im(f)=W[/tex]

e se, burocrazia permettendo, fosse un sottospazio? avrebbe dimensione 1?

[13700]

con riferimento al punto (3b)...quando si parla di spazio vettoriale delle applicazioni e dicevo che le applicazioni elementari:

[tex]f_1(v_1)=(1,2,3)[/tex], [tex]f_2(v_2)=(1,2,3)[/tex], [tex]f_3(v_3)=v_1[/tex], [tex]f(v_3)=v_2[/tex]

sono una base, intendevo che qualunque [tex]f[/tex] che gode delle proprietà richieste si può scrivere come combinazione lineare delle [tex]f_i[/tex]:

[tex]f=a_1f_1+a_2f_2+a_3f_3+a_4f_4[/tex]

credo che sia utile se sei d'accordo analizzare tutti i punti dei vari esercizi a partire dal primo in modo da affrontere i vari nodi in modo ordinato e condividerne i dubbi

Ma a me il resto (gli es prima) torna, qui mi sa che è un problema di parole: secondo me, quando dici "applicazione elementare" intendi una cosa tipo f:U-->S (per non usare V e W che ci sono nel testo) e tale che, se u1...ua è una base di U e s1...sb è una base di S, allora esistono i,j tali che
f(ui)=s_j
e f(uk)=0 se k non è i.
Giusto? Cioè una funzione che su un vettore della base fa quello che dici te e sugli altri fa 0.
Ci ho preso? questo intendevi tu? forse rifacendoti all'esercizio precedente. Giusto?

Il fatto è che questa cosa non l'avevo capita da quello che scrivevi tu cioè, mi sembra più preciso ogni volta che uno dà una funzione lineare dire cosa fa su tutta una base dello spazio di partenza.
Tu devi (beh, noi dobbiamo) dare una base dell'insieme {f:R^3-->R^3 tale che f(v) in W per ogni v in V e f(w) in V per ogni w in W}, quindi l'elenco che diamo deve essere innanzitutto fatto di elementi di questo insieme, quindi di applicazioni da R^3 in R^3, quindi se le vogliamo descrivere tramite le basi, dobbiamo usare basi di R^3. Se tu dici soltanto che f1(v1)=v3, io posso immaginare che f1(v2) e f1(v3) facciano 0, ma non c'è scritto. Onestamente non avevo pensato all'esercizio di prima ... ma se li leggi in sequenza, forse capisco cosa volevi dire. Ma mi sembra più onesto dire ogni volta come è fatta f su tutta una base di R^3 (tanto ci vuole poco). Aspetto smentite

[GIMUSI]

Ma a me il resto (gli es prima) torna, qui mi sa che è un problema di parole: secondo me, quando dici "applicazione elementare" intendi una cosa tipo f:U-->S (per non usare V e W che ci sono nel testo) e tale che, se u1...ua è una base di U e s1...sb è una base di S, allora esistono i,j tali che
f(ui)=s_j
e f(uk)=0 se k non è i.
Giusto? Cioè una funzione che su un vettore della base fa quello che dici te e sugli altri fa 0.
Ci ho preso? questo intendevi tu? forse rifacendoti all'esercizio precedente. Giusto?

Il fatto è che questa cosa non l'avevo capita da quello che scrivevi tu cioè, mi sembra più preciso ogni volta che uno dà una funzione lineare dire cosa fa su tutta una base dello spazio di partenza.
Tu devi (beh, noi dobbiamo) dare una base dell'insieme {f:R^3-->R^3 tale che f(v) in W per ogni v in V e f(w) in V per ogni w in W}, quindi l'elenco che diamo deve essere innanzitutto fatto di elementi di questo insieme, quindi di applicazioni da R^3 in R^3, quindi se le vogliamo descrivere tramite le basi, dobbiamo usare basi di R^3. Se tu dici soltanto che f1(v1)=v3, io posso immaginare che f1(v2) e f1(v3) facciano 0, ma non c'è scritto. Onestamente non avevo pensato all'esercizio di prima ... ma se li leggi in sequenza, forse capisco cosa volevi dire. Ma mi sembra più onesto dire ogni volta come è fatta f su tutta una base di R^3 (tanto ci vuole poco). Aspetto smentite

proprio così...ma capisco che non fosse molto chiaro per come l'ho scritto...

se sul resto ci troviamo...(formalismo a parte, assolutamente poco chiaro e migliorabile)...analizziamo il punto 3b:

siano [tex]v_1[/tex] e [tex]v_2[/tex] base di [tex]V[/tex] e [tex]v_3[/tex] base di [tex]W[/tex]

[tex]v_1[/tex] [tex]v_2[/tex] [tex]v_3[/tex] sono base di [tex]R^3[/tex]

le "applicazioni base" che soddisfano la condizione richiesta sono le seguenti (le riscrivo per esteso):

[tex]f_1:\;\;f_1(v_1)=v_3\;\;f_1(v_2)=0\;\;f_1(v_3)=0[/tex]

[tex]f_2:\;\;f_2(v_1)=0\;\;f_2(v_2)=v_3\;\;f_2(v_3)=0[/tex]

[tex]f_3:\;\;f_3(v_1)=0\;\;f_3(v_2)=0\;\;f_3(v_3)=v_1[/tex]

[tex]f_4:\;\;f_4(v_1)=0\;\;f_4(v_2)=0\;\;f_4(v_3)=v_2[/tex]

qualunque [tex]f[/tex] che gode della proprietà richiesta si può scrivere come combinazione lineare delle [tex]f_i[/tex]:

[tex]f=a_1f_1+a_2f_2+a_3f_3+a_4f_4[/tex]

questo mi ha portato a concludere che la Dim del sottospazio è 4

evidentemente non è così...tu che ne pensi?

[13700]

Boh, anche a me torna così (è quello che ho scritto prima con h,k,m,n) ... quello che non mi tornava (che non capivo) era la base. Sulla dimensione, 4 mi andava benissimo. Aspettiamo lumi

[Massimo Gobbino]

Aspettiamo lumi

La notazione dell'ultimo post di GIMUSI è finalmente corretta (e comprensibile), così come lo era la versione h, k, m, n di 13700. Visto che dicono la stessa cosa, è per lo meno probabile che sia corretta (e secondo me lo è). Non so se siano questi i tanto attesi lumi

[GIMUSI]

Aspettiamo lumi

La notazione dell'ultimo post di GIMUSI è finalmente corretta (e comprensibile), così come lo era la versione h, k, m, n di 13700. Visto che dicono la stessa cosa, è per lo meno probabile che sia corretta (e secondo me lo è). Non so se siano questi i tanto attesi lumi

meno male...stavo perdendo ogne speranza ...e non vedevo proprio altre possibilità...in effetti come segnalato più volte da 13700 la prima versione non era affatto chiara...rimetterò a posto le notazioni nelle prossime rev

[GIMUSI]

allego le soluzioni con svolgimento del test n.33 "Applicazioni lineari 6"

la rev02 comprende tutti gli esercizi precedenti con la correzione dei punti 2b, 3b e 4 secondo le indicazioni e osservazioni formulate qui nel thread