Domanda Autovettori/Autospazi

[DaroB94]

Ho una domanda che mi stava turbando 5 minuti fa...

Parlando d'autovalori, autospazi... com'è possibile che un Autospazio abbia dimensione maggiore di 1?
So che l'autospazio è lo spazio generato dall'autovettore relativo a un autovalore, ma esso è un solo vettore.
Tuttavia so che la molteplicità geometrica può benissimo essere maggiore di 1 e che si calcola con

Mg= dim(ker(Matrice - Autovalore*Identità))

Non capisco come un vettore possa produrre uno spazio a due o più dimensioni, quando so che un piano ad esempio si origina dalla combinazione lineare di due vettori.

Cos'è che m'è sfuggito?

[GIMUSI]

Ho una domanda che mi stava turbando 5 minuti fa...

Parlando d'autovalori, autospazi... com'è possibile che un Autospazio abbia dimensione maggiore di 1?
So che l'autospazio è lo spazio generato dall'autovettore relativo a un autovalore, ma esso è un solo vettore.
Tuttavia so che la molteplicità geometrica può benissimo essere maggiore di 1 e che si calcola con

Mg= dim(ker(Matrice - Autovalore*Identità))

Non capisco come un vettore possa produrre uno spazio a due o più dimensioni, quando so che un piano ad esempio si origina dalla combinazione lineare di due vettori.

Cos'è che m'è sfuggito?

ma a un autovalore possono corrispondere più autovettori (è necessario che sia MA>1)

pensa alla matrice identità nxn...ha un unico autovalore (con MA=n) e un autospazio di dimensione n (MG=n)

[DaroB94]

Giusto, nel caso dell'identità ad esempio qualunque vettore è un autovettore e e l'autospazio è lo spazio di partenza. Grazie!

[GIMUSI]

ma a un autovalore possono corrispondere più autovettori (è necessario che sia se MA>1)

parlare di "più autovettori" non ha molto senso visto che se esistono sono sempre infiniti (a meno che non si intendano normalizzati e con segno definito )

detto meglio...visto che [tex]1\leq MG\leq MA[/tex]...a un autovalore con [tex]MA>1[/tex] possono corrispondere autospazi di dimensione maggiore di 1 (ma in ogni caso [tex]\leq MA[/tex])

[nomeutente]

Domanda: Ma se ho, ad esempio, una matrice con 2 autovalori uguali che però hanno molt. algebrica = molt.geometrica la posso diagonalizzare comunque? cioè con blocchi di Jordan da 1 o i due uguali mi daranno comunque un blocco da 2 con l'1 a destra?

[GIMUSI]

Domanda: Ma se ho, ad esempio, una matrice con 2 autovalori uguali che però hanno molt. algebrica = molt.geometrica la posso diagonalizzare comunque? cioè con blocchi di Jordan da 1 o i due uguali mi daranno comunque un blocco da 2 con l'1 a destra?

In generale io l'ho capita così (lez. 37-44):

1 - Teoremi vari: una matrice qualsiasi ([tex]n*n[/tex] a coeff. reali o complessi) è diagonalizzabile se e solo se per ogni autovalore [tex]\lambda[/tex] risulta [tex]MG(\lambda)=MA(\lambda)[/tex] (si dimostra infatti che questo garantisce l'esistenza di una base di autovettori); caso particolare: se gli autovalori sono tutti distinti per ogni [tex]\lambda[/tex] risulta [tex]MG(\lambda)=MA(\lambda)=1[/tex]; caso ultraparticolare (teorema spettrale): una matrice reale simmetrica si diagonalizza mediante una base ortonormale.

2 - Teorema forma di jordan in [tex]C[/tex]: una matrice qualsiasi ([tex]n*n[/tex] a coeff. reali o complessi) è sempre jordanizzabile; ad ogni autovalore [tex]\lambda[/tex] corrispondono [tex]MG(\lambda)[/tex] blocchi di jordan tali che la somma delle dimensioni dei blocchi risulti pari a [tex]MA(\lambda)[/tex] (il caso della diagonalizzazione può essere considerato un caso particolare di jordanizzazione con tutti i blocchi di dimensione [tex]1*1[/tex]).

3 - Teorema forma di jordan reale: ogni matrice reale si può portare nella forma di jordan reale; in generale una matrice [tex]n*n[/tex] a coeff. reali si jordanizza in [tex]C[/tex]; se esistono autovalori complessi questi si presentano a coppie coniugate (la traccia = somma dei [tex]\lambda[/tex] è un numero reale) allora i rispettivi 2 blocchi [tex]k*k[/tex] si possono "sostituire" con un unico blocco a coefficienti reali [tex]2k*2k[/tex] fatto di k blocchetti 2x2 sulla diagonale con accanto ("sopra") [tex]k-1[/tex] blocchetti di [tex]I_2_*_2[/tex].

[nomeutente]

Ok. Ora però metti caso che un autovalore abbia mg = ma = 2. Saranno due blocchi da 1 dello stesso autovalore?

[GIMUSI]

Ok. Ora però metti caso che un autovalore abbia mg = ma = 2. Saranno due blocchi da 1 dello stesso autovalore?

certo che sì...è un autovalore buono con il suo bel autospazio...e se fosse MA=4 con MG=2?

[nomeutente]

Direi due blocchi da 2

[GIMUSI]

Direi due blocchi da 2

e perché escludere il caso di un blocco da 1 e uno da 3?

[nomeutente]

Mmm dimmelo tu

[GIMUSI]

Mmm dimmelo tu

si deve guardare la molteplicità dell'autovalore nel polinomio minimo...se è 3 ci sono un blocco da tre e uno da uno...se è 2 ci sono due blocchi da due

[nomeutente]

Avevo pensato anch'io al polinomio minimo anche perché su Wikipedia c'è un esempio
Grazie comunque

[nomeutente]

Scusami ma ho un'altra domanda: per la base che mi da Jordan(matrice M), che faccio?
Intendo sempre con più autovalori coincidenti

[GIMUSI]

Avevo pensato anch'io al polinomio minimo anche perché su Wikipedia c'è un esempio
Grazie comunque

ma non vale guardare wikipedia