Spazi vettoriali – Esercizi teorici 1

[Roland]

Per dimostrare l'esercizio 2 a) andrebbe bene un ragionamento del genere?

La proprieta' da dimostrare e' la seguente :
Se a + c = b + c, allora a = b.

Poiche' siamo in un campo esiste l'opposto di c che chiameremo c' tale che c+c'=0 e possiamo sommarlo ad entrambi i membri:
a+c+c'=b+c+c'
Per via della proprieta' associativa abbiamo:
a+(c+c')=b+(c+c') ed essendo c' l'elemento opposto si ha che (c+c')=0 e quindi si avra' a+0=b+0 e da qui si conclude che a=b essendo a+0=a e b+0=b per via dell'esistenza dell'elemento neutro

Potrebbe andare?

[Massimo Gobbino]

Per dimostrare l'esercizio 2 a) andrebbe bene un ragionamento del genere?

Va abbastanza bene. Faccio un po' di commenti in punti specifici per sistemarla per bene.

La proprieta' da dimostrare e' la seguente :
Se a + c = b + c, allora a = b.

Poiche' siamo in un campo esiste l'opposto di c che chiameremo c' tale che c+c'=0

Qui non mi piace l'uso dell'articolo, quando dici l'opposto. Per il momento non sai ancora che l'opposto è unico (sarà più avanti nello stesso esercizio ). L'assioma opportuno ti dice solo che esiste almeno *un opposto*, quindi l'articolo giusto è *un*. D'altra parte, se ce ne fosse più di uno, qui ti basterebbe prenderne uno qualunque, ed il ragionamento successivo filerebbe ugualmente. Quindi qui l'unicità non serve (e non si può usare, in quanto per dimostrarla servirà questa legge di cancellazione).

e possiamo sommarlo ad entrambi i membri:
a+c+c'=b+c+c'

Qui ad essere precisi bisognerebbe scrivere

(a+c)+c'=(b+c)+c'

in quanto hai sommato c' alle somme che già avevi. Poi con l'associativa "sposti le parentesi" come hai fatto.

Per via della proprieta' associativa abbiamo:
a+(c+c')=b+(c+c') ed essendo c' l'elemento opposto si ha che (c+c')=0 e quindi si avra' a+0=b+0 e da qui si conclude che a=b essendo a+0=a e b+0=b per via dell'esistenza dell'elemento neutro

Il fatto che a+0=a non è conseguenza dell'esistenza dell'elemento neutro, ma della sua proprietà fondamentale. Che esista lo hai già usato nel momento in cui hai preso c': l'assioma dell'inverso già dipende dall'assioma dell'elemento neutro.