Geometria nel piano 1

[Pirello]

Cosa intendi? Fare il simmetrico di un punto rispetto ad un piano? Se H è la proiezione di P sul piano, allora il simmetrico di P è P+2(H-P). Perché?

Io proverei a rispondere.. Precorsisticamente richiamerei al fatto della simmetria centrale di due punti ( col senno da liceale) ; Ora invece direi che si tratta di una simmetria rispetto al piano e al punto considerato. Facendo i soliti calcoli si fa: x --> ( x - Po ) --> matrice di simmetria*( x - Po ) --> Po + matrice di simmetria*( x - Po ).

Ora dovrei ragionare un attimo sul fatto del perchè la matrice alla fine viene 2

[samuele_basile]

Una volta trovato 2(H-P) cioè la distanza tra H e P moltiplicato per 2 come lo sommo a P che è una coordinata?

[Pirello]

Una volta trovato 2(H-P) cioè la distanza tra H e P moltiplicato per 2 come lo sommo a P che è una coordinata?

La distanza?! Da dove ti viene fuori la distanza??

[samuele_basile]

H-P

[Pirello]

H-P

No. È concettualmente sbagliato che ti venga distanza perchè te stai facendo una differenza tra coordinate. La formula per la distanza tra due punti ha a che fare con radici. Facendo H - P , definito H come ( Xo , Yo ) e P come ( Zo , Wo ) , fai semplicemente la differenza fra le componenti delle xoordinate, quindi ( Xo - Zo , Yo - Wo ) e questo produce un altra coordinata, non ha niente a che fare con la distanza

[samuele_basile]

L'ho fatto ma non mi viene assolutamente come la soluzione proposta!! Non è che potresti allegare una foto del procedimento?! Lo so mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua.

[GIMUSI]

L'ho fatto ma non mi viene assolutamente come la soluzione proposta!! Non è che potresti allegare una foto del procedimento?! Lo so mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua.

allego un possibile svolgimento dell'esercizio

[erika2]

Ho fatto l'esercizio 5 quello in cui si devono trovare le mediane,altezze, gli assi, le bisettrici di un triangolo di vertici (1,1), (2,3),(-1,4). Il problema ce l'ho per la bisettrice dell'angolo esterno ottuso (anche se non occorre ai fini dell'esercizio perché credo si intendano solo le interne) a \(A\hat CB\) ; cioè l'equazione di secondo grado che uso per trovare il coefficiente angolare della bisettrice dell'angolo suddetto mi restituisce risultato giusto per quanto riguarda la bisettrice dell'angolo acuto \(A\hat CB\), ma risultato sbagliato di ordine \(10^{-3}\) per quello esterno. Tutto ciò lo so perché ho verficato i risultati ottenuti con Geogebra. Per gli altri due angoli le bisettrici sia interne che esterne combaciano con quanto mi dice Geogebra. L'equazione per trovare le bisettrici di \(A\hat CB\) che io ho è:
\((-8*sqrt(130)-90)*m^2-12*sqrt(130)*m+8*sqrt(130)-90=0\).
Perché non ottengo il giusto coefficiente angolare della bisettrice dell'angolo ottuso è un mistero per me dato che per \(B\hat AC\) e \(A\hat BC\) accade.

[Massimo Gobbino]

Uhm, le bisettrici interna ed esterna di un angolo sono sempre perpendicolari tra di loro, quindi il prodotto dei loro coefficienti angolari è -1, quindi nell'equazione che li determina il coefficiente di \(m^2\) ed il termine noto devono essere uguali ma con il segno diverso.

[erika2]

Grazie Prof., ora riguardo l'esercizio.

[erika2]

ho rivisto e notato che in realtà anche nei casi degli altri due angoli l'equazione di secondo grado mi dà il coefficiente angolare giusto solo per l'angolo acuto, il che riflettendo è normale dato che prendo il coseno positivo dell'angolo tra le due rette. E' stata una mia svista dipesa dal fatto che la seconda soluzione che mi viene dall'equazione ha sì cifre simili al coefficiente angolare della bisettrice dell'angolo ottuso ma ordine di grandezza diverso.

[LucaBatte]

Buongiorno, qualcuno sa spiegarmi come svolgere l'esercizio 8?

[Massimo Gobbino]

Buongiorno, qualcuno sa spiegarmi come svolgere l'esercizio 8?

Beh, intanto si parte da

\(x=\rho\cos\theta
\qquad
y=\rho\sin\theta\)

Dividendo si risolve il problema nel primo e quarto quadrante. Perché non ovunque? Come si sistema negli altri due quadranti?

[LucaBatte]

Buongiorno, qualcuno sa spiegarmi come svolgere l'esercizio 8?

Beh, intanto si parte da

\(x=\rho\cos\theta
\qquad
y=\rho\sin\theta\)

Dividendo si risolve il problema nel primo e quarto quadrante. Perché non ovunque? Come si sistema negli altri due quadranti?

Credo basti aggiungere π
Più che altro non capisco come impostare la dimostrazione.

[Massimo Gobbino]

Credo basti aggiungere π
Più che altro non capisco come impostare la dimostrazione.

Intanto dopo aver diviso (esclusi i casi in cui si annulla il denominatore) ci siamo ridotti a

\(\tan\theta=\dfrac{y}{x}\)

A questo punto è un nostro diritto applicare l'arcotangente a destra e sinistra, ottenendo che

\(\arctan(\tan\theta)=\arctan\left(\dfrac{y}{x}\right)\)

Ora la cosa peggiore che ci possa venire in mente è di dire che a sinistra la tangente e l'arcotangente si semplificano. Questa è una delle grandi tentazioni da evitare. Questo si può fare solo se \(\theta\in(-\pi/2,\pi/2)\), cioè in effetti nel primo e quarto quadrante.

Se invece siamo nel secondo e terzo quadrante, allora \(\theta\) sta in \((\pi/2,3\pi/2)\), e quindi togliendo \(\pi\) ritorniamo nel range in cui si può fare la semplificazione, e la tangente non cambia. Quindi in tal caso

\(\arctan(\tan(\theta))=\arctan(\tan(\theta-\pi))=\theta-\pi\)

da cui la formula voluta. Detto brutalmente, nel secondo e terzo quadrante la formula con l'arcotangente non identifica il punto giusto, ma quello simmetrico rispetto all'origine, che ha la stessa tangente.

Su queste questioni di semplificazioni tra funzioni inverse consiglio di vedere le lezioni iniziali di analisi, ad esempio la lezione 9 di AM1_17 (o analoghe di altri anni).