[nota: avrei voluto mettere esercizio e svolgimento negli spoiler, ma per qualche ragione non funzionava. nel caso sia un problema cerco di modificare più tardi]
l'esercizio Dato il campo vettoriale \(\vec{E} = (xe^x + y, xz^2, x)\) e la superficie \(S = \{x^2 + 2y^2 + z^2 = 9 \mid y \geq 0\}\), trovare il flusso del rotore di \(E\) attraverso \(S\), con il vettore normale ad \(S\) scelto in modo tale che nel punto \(P = (3, 0, 0)\) esso sia \((1, 0, 0)\).
svolgimento (e dubbi) la superficie \(S\) è un ellissoide di cui prendo i punti con \(y \geq 0\) - il testo ci chiede di prendere il vettore normale uscente da questa superficie. la prima cosa che faccio (questo mi tornava utile per capire come fosse fatto il bordo di \(S\), ma a lungo termine credo di potermelo risparmiare) è prendere la parametrizzazione più stupida di \(S\) che esista, aka \(\phi: (u, v) \in K = \{u^2+v^2 \leq 9\} \rightarrow (u, \sqrt{\frac{9-u^2-v^2}{2}}, v)\). ne calcolo la componente \(y\) del vettore normale e trovo che questa è (al di fuori di \(\partial K\)) \(-1\). fidandomi del disegnino, questa NON è l'orientazione corretta per il versore normale, quindi alla fine dovrò moltiplicare tutto per \(-1\).
ora, \(\partial{S}\) è data da \(x^2+z^2 = 9\). ora devo scegliere la parametrizzazione positiva di \(\partial{S}\). qui partono i guai. io avrei optato per la solita parametrizzazione \((3\cos(\theta), 0, 3\sin(\theta)\), ma a quanto detto da GIMUSI in questo thread NON va bene. dopo averci sbattuto la testa per un po' mi son convinto che la terza componente debba essere \(-3\sin(\theta)\) (intuitivamente: se percorro \(\partial{S}\) nel senso giusto, devo prima partire "scendendo di \(z\)"). eseguendo tutti i calcoli mi viene che il flusso del rotore (con il vettore normale NON orientato correttamente) è \(-9\pi\). ora dovrei moltiplicare per \(-1\) ed esce \(9\pi\) che è il risultato giusto MA CAMBIATO DI SEGNO.
non capisco bene dove abbia sbagliato. l'errore deve giacere in una di queste 3 cose: o quando ho parametrizzato la superficie, il versore normale è giusto e basta (e quindi c'è un errore di calcolo/troppa fiducia nei disegnini), o quando ho parametrizzato la superficie ho già in qualche modo tenuto conto dell'orientazione del bordo (e quindi avrei dovuto orientare \(\partial S\) come avevo pensato io, cioè con la terza componente \(3\sin(\theta)\), oppure, l'ipotesi peggiore di tutte, non è nessuna di queste e non ho capito nulla del teorema di stokes.
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