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Salve a tutti, stavo provando a svolgere questo esercizio in cui mi si chiedeva di dimostrare che la curva data è chiusa e semplice: per questo ultima richiesta ho dimostrato tramite il sistema, ma volevo chiedere se si potesse svolgere anche utilizzando un invariante monotono.
All'inizio avevo pensato ad una \(f(x,y) =x/y\), in questo modo, sostituendo x(t) e y(t) otterrei \(\dfrac{\cos t\sin^2 t}{2\sin t\cos t}\), quindi con t diverso dai 2 estremi della curva e ciò mi ha bloccato nel proseguire con questo metodo
C'è una via d'uscita con l'invariante o ci devo rinunciare?
(p.s. non so perché ma alcune lettere delle formule me le scrive in maiuscolo)

Ciao, io credo che questo procedimento sia in realtà molto utile. L’unica cosa da considerare in più sono i casi dove il denominatore si annulla e quindi, nel caso in esame, dove \(t = 0 \) e \(t = π/2\). Questi, devono essere verificati impostando il sistema con \(t\) e \(s\). In realtà, da quello che ho capito, questo metodo è equivalente a impostare il sistema con \(t\) e \(s\) e dividere la prima equazione per la seconda; infatti, nel momento in cui si divide devono essere analizzati subito i casi in cui il denominatore si annulla, e tali casi sono, come si può facilmente intuire quelli da verificare con il metodo precedente.

Inoltre, poiché questa curva è chiusa, non esiste un invariante monotono e bisogna necessariamente verificare la semplicità con il sistema.

Vorrei precisare che non sono sicuro al 1000% di quanto scritto sopra ma ho cercato di mettere un po’ insieme i pezzi arrivando (spero) a una risposta plausibile.

Aggiungo qualche commento. Come osservato da Lorenzo, in questo caso non c'è speranza di trovare un invariante globalmente monotono, dal momento che la curva è chiusa. Tuttavia, il ragionamento di Davide si può sfruttare all'interno di una distinzione di casi. La giustificazione rigorosa sarebbe qualcosa del genere.

Consideriamo l'uguaglianza \(\gamma(t)=\gamma(s)\) e distinguiamo tre casi.

• Se t ed s sono entrambi estremi della curva, allora va tutto bene.
• Se t ed s sono entrambi non estremi della curva, allora possiamo dividere come fa Davide ottenendo \(\sin t=\sin s\), da cui t=s dal momento che siamo in un intervallo di monotonia del seno.
• Se uno dei due, diciamo t, è un estremo della curva ed s non lo è, allora \(\gamma(t)=(0,0)\) mentre \(\gamma(s)\neq(0,0)\) (basta vedere la seconda componente), dunque l'uguaglianza non è possibile e questo caso non si pone.

Questo conclude la dimostrazione, visto che abbiamo ottenuto che o t ed s sono entrambi estremi, oppure t=s.

Concludo con una domanda: a cosa corrisponde, dal punto di vista geometrico, considerare la quantità x/y ? A cosa corrisponde la sua iniettività al di fuori degli estremi?

Buonasera professore, scrivo adesso solo perchè ho visto il messaggio poco fa.
Premetto che non sono sicurissimo di quello che sto per dire.
Quando vado a sostituire \( x = x(t) , y = y(t)\) in \(f(x,y)\) è come se stessi percorrendo una direzione del piano del tipo \(( cost sin^2t, sin2t )\) con \(0 < t < π/2\) che non è altro che il sostegno della curva stessa. Questo mi farebbe pensare che, quella funzione \(f(x,y) = x/y\) sia iniettiva percorrendo il sostegno della curva dato che \(f(x(t),y(t)) = t\).
(Ho scritto appositamente il minore e non il minore uguale, per non considerare quei due t “critici”)