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Salve , stavo provando a svolgere gli esercizi sugli integrali superficiali a pagina 110 del libro, ma mi è sorto un grosso dubbio:
io so che la divergenza di un rotore è sempre nulla e in teoria, quando applico il teorema di Gauss-Green, non dovrebbe annullarsi anche il flusso attraverso una data superficie di un campo la cui divergenza è nulla? o mi son perso qualche parte di teoria?

Questo è vero solo se la superficie è il bordo di un qualche insieme, ad esempio tutta una sfera.

Se la superficie è solo un pezzo del bordo, allora è vero solo che il flusso sulla superficie intera è nullo, il che implica che il flusso su un pezzo è uguale, a meno del segno, a quello sull'altro. Moralmente: divergenza nulla vuol dire che i maiali non si creano e non si distruggono, dunque tanti maiali entrano da una parte, tanti maiali escono dall'altra.

Questa osservazione è alla base della tecnica che si usa più volte, e che consiste nel cambiare superficie quando si deve calcolare un flusso, riducendosi ad una superficie più comoda che "completa" quella data in modo da avere l'intero bordo di un solido. Funziona anche se la divergenza non è nulla, a patto di saper calcolare l'integrale della divergenza sul solido.

Grazie della spiegazione, ora è chiarissimo