Primitiva di una forma differenziale

[Esseneto]

Salve, volevo avere un riscontro per quanto riguarda il seguente metodo: ho una forma differenziale f= A(x,y)dx + B(x,y)dy ; calcolo la primitiva rispetto alla variabile x di A(x,y) e quella rispetto a y di B(x,y); quindi sommo le due primitive e mi trovo la primitiva della forma differenziale; nel caso in cui le primitive dovessero avere termini in comune viene considerato un solo termine nella somma ( se la prima viene 3x+xy e la seconda 5y+xy la primitiva cercata diventa 3x+5y+xy). Non ho visto usare questo metodo in lezioni o libri di analisi 2 e quindi non sono sicuro della sua esattezza (trattandosi di una ricorrenza che ho casualmente notato ), però non sono riuscito a trovare un esercizio dove questa regola non venga rispettata. Posso considerarla valida oppure ha bisogno di ipotesi particolari per funzionare?

[Massimo Gobbino]

Non ho visto usare questo metodo in lezioni o libri di analisi 2 e quindi non sono sicuro della sua esattezza (trattandosi di una ricorrenza che ho casualmente notato ), però non sono riuscito a trovare un esercizio dove questa regola non venga rispettata.

Eheh, hai fatto bene a porre questa domanda. Si tratta di uno di quei metodi mooooolto border-line, al limite dell'abusivo, che possono funzionare se uno sa esattamente quello che sta facendo, ma possono anche portare a cantonate clamorose. Anche per questo non viene insegnato, oltre al fatto che una sua descrizione rigorosa qualche difficoltà la comporterebbe.

Facciamo un esempio semplice, ma con un po' di fatica se ne potrebbero trovare di molto più eclatanti. Consideriamo la forma differenziale

\(\omega=2y\sin(xy)\cos(xy)\,dx+2x\sin(xy)\cos(xy)\,dy\)

Una semplice verifica mostra che è chiusa, e dunque esatta su tutto il piano per semplice connessione.

Ora una primitiva di A(x,y) rispetto alla variabile x è (derivare per credere) \(\sin^2(xy)\), mentre una primitiva di B(x,y) rispetto alla variabile y è (sempre derivare per credere) \(-\cos^2(xy)\).

Chi sarebbe una primitiva della forma seguendo la tua logica? Funziona? Come si spiega?

Spero davvero che qualcuno intervenga, perché la questione è interessante.