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Salve, mi trovo a risolvere il seguente esercizio:
Calcolare l'integrale della funzione \(f(x,y,z)=1\) sul dominio dato \(\Omega\) assegnato mediante una caratterizzazione del suo bordo:
\(\partial{\Omega}=\bigl\{\bigl(\sin(t),\,\cos(v),\,\cos^3(t)\bigr),\,\,(t,v)\in[0,\,2\pi]\times[0,\,\pi]\bigr\}\cup\bigl\{y=1\bigr\}\cup\bigl\{y=-1\bigr\}\)
Nello svolgere l'esercizio, il risultato ottenuto è di segno opposto a quello indicato dal testo, pertanto ho pensato che l'orientazione della normale alla superficie del dominio \(\Omega\) fosse opposta a quella convenzionalmente riconosciuta come positiva.
A questo punto mi chiedevo se fosse possibile intuire il verso della normale a partire dalla parametrizzazione assegnata. In questo caso, ad esempio, l'intersezione del dominio \(\Omega\) con il piano \(y=0\) genera una curva il cui sostegno è percorso in senso orario e, quindi, opposto a quello riconosciuto come positivo. Stando così le cose, è possibile che anche la normale alla superficie curva che delimita \(\Omega\), calcolata attraverso la matrice jacobiana
\(J(t,v)=\begin{pmatrix}
x_t & y_t & z_t\\
x_v & y_v & z_v
\end{pmatrix}\)
ed i suoi minori \(M_1\), \(M_2\) e \(M_3\), sia orientata in direzione opposta a quella cercata, cioè verso l'interno di \(\Omega\) ?
Nel caso la mia osservazione fosse giusta, è corretto in generale un approccio di questo tipo ?
Ringrazio in anticipo per eventuali chiarimenti, correzioni e suggerimenti.

Il problema del tuo approccio è che quale è il verso di percorrenza positivo del bordo dipende da "dove si trova la superficie" rispetto al bordo. Nel caso specifico si tratta di un "cilindro" con asse \(y\) (non è esattamente un cilindro perchè le sezioni a \(y\) fisso non sono cerchi). E' quindi abbastanza facile capire come deve essere orientata la normale esterna sulla superficie laterale (sui due coperchi è ovvio): quando \(x\) e \(z\) sono positive deve avere componenti \(x\) e \(z\) positive. A questo punto basta scegliere valori dei parametri per cui sei in queste condizioni e controllare dove "punta la normale".

Grazie per le precisazioni e le indicazioni professoressa Ghisi. Allego file con soluzione dell'esercizio dove faccio uso dei suoi suggerimenti...

E' corretto.

Riguardando l'esercizio ho scoperto un errore nel calcolo dell'integrale finale. Allego file con correzione... Chiedo scusa..