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Salve allego qualche esercizio sulle curve che ho fatto perchè ancora ho dei dubbi a riguardo

Qui ci sono le correzioni.

nel primo esercizio posso dire che t è monotona ... dato che la derivata di t è 1 che è>0 ?

mentre nel terzo es. se mi accorgo che è una circonferenza... che visto l'intervallo viene percorsa 2 volte e quindi si incrocia due volte posso dire che fatte queste considerazioni non è semplice?

ed infine nell'ultimo posso dire che poiché è uno stesso tratto percorso più volte allora non può essere semplice?

Altrimenti nell'ultimo pensavo di poter dividere l'intervallo in [-π,-π/2] [-π/2,0]e cosi via (in ciascuno dei quali la funzione è monotona)e vedere il caso in cui la curva incontra il confine ed escluderlo?

M.A.L wrote:nel primo esercizio posso dire che t è monotona ... dato che la derivata di t è 1 che è>0 ?

Si.

M.A.L wrote:mentre nel terzo es. se mi accorgo che è una circonferenza... che visto l'intervallo viene percorsa 2 volte e quindi si incrocia due volte posso dire che fatte queste considerazioni non è semplice?

Si, anche se in linea di massima è sempre bene esibire due valori di \(t\) (non entrambi gli estremi dell'intervallo!) per cui la curva passa per lo stesso punto.

M.A.L wrote:Altrimenti nell'ultimo pensavo di poter dividere l'intervallo in [-π,-π/2] [-π/2,0]e cosi via (in ciascuno dei quali la funzione è monotona)e vedere il caso in cui la curva incontra il confine ed escluderlo?

Devi decidere che cosa vuoi dimostrare: questo metodo si usa per dire che la curva è semplice, nel post precedente sembri invece protendere per la non semplicità. In effetti questa curva \((\cos^3 t, 2\sin t)\) per \(t\in[-\pi, \pi]\)) è semplice e lo puoi dimostrare con il metodo che hai descritto.