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Salve ho un dubbio nel calcolo del baricentro per rotazioni non complete in un dominio del tipo D{x^2+y≤1, x≥0,y≥0} con a=5π/6 Asse y, versoz positive.... Volume e cord y li ho calcolati ma quando devo andare a trovare cord. x e z del baricentro non riesco a trovare gli estremi di integrazione per la terza coordinata (in questo caso z)... NB ho usato le polari x=rho cos(theta), y=y, z=rho sin(theta) ....grazie

ho poi invece un altro dubbio... in classe abbiamo dim che se una curva in un dato intervallo è monotona in un pezzo di intervallo e poi anche nellaltro pezzo allora con gli opportuni accorgimenti da fare riusciamo a dire che e semplice... ma se invece in un pezzo è crescente e nell'altro è decrescente si può concludere che non è semplice;
- se poi ho una curva del tipo (t, sint) e per dimostrarne la semplicità su[-π,π] volessi applicare la def trovo subito t=s e sint=sin s... cosa posso dire a riguardo?

scusi volevo scrivere "si può concludere che è semplice";

Sono nelle sezioni sbagliate, quindi a breve saranno spostati, poi ti risponderò.

M.A.L wrote:Salve ho un dubbio nel calcolo del baricentro per rotazioni non complete in un dominio del tipo D{x^2+y≤1, x≥0,y≥0} con a=5π/6 Asse y, versoz positive.... Volume e cord y li ho calcolati ma quando devo andare a trovare cord. x e z del baricentro non riesco a trovare gli estremi di integrazione per la terza coordinata (in questo caso z)... NB ho usato le polari x=rho cos(theta), y=y, z=rho sin(theta) ....grazie

Se sai trovare la x del baricentro non dovresti aver nessun problema anche con la z: una volta che hai scritto le coordinate cilindriche, sai dove variano \(\theta\), \(y\) e \(\rho\): infatti la relazione fra \(\rho\) e \(y\) è la stessa che c'è fra \(x\) e \(y\), visto che \(\rho\) è la distanza dall'asse di rotazione. Nel tuo caso: \(\{\rho^2+y≤1, \rho≥0,y≥0\}\).

M.A.L wrote:ho poi invece un altro dubbio... in classe abbiamo dim che se una curva in un dato intervallo è monotona in un pezzo di intervallo e poi anche nellaltro pezzo allora con gli opportuni accorgimenti da fare riusciamo a dire che e semplice... ma se invece in un pezzo è crescente e nell'altro è decrescente si può concludere che non è semplice;
- se poi ho una curva del tipo (t, sint) e per dimostrarne la semplicità su[-π,π] volessi applicare la def trovo subito t=s e sint=sin s... cosa posso dire a riguardo?

Questo messaggio mi sembra parecchio confuso. Fissiamo alcuni punti.

- Una componente monotona strettamente implica curva semplice.

- Se non ci sono componenti monotone la curva può essere o meno semplice. Se si può dividere l'intervallo in cui varia il parametro in zone diverse, in ognuna di queste zone almeno una componente è monotona e quando il parametro varia in queste zone sai che la curva si trova in porzioni diverse di piano/spazio (occhio alle frontiere fra queste regioni di piano) allora la curva è semplice.

- Ovviamente quelle sopra sono solo condizioni sufficienti e non necessarie (pensa ad esempio ad una spirale).

- Per la seconda parte della tua domanda: è sempre ovvio che per \(t = s\) si ha \(\gamma(t) = \gamma(s)\) (dove \(\gamma\) è la curva) ed infatti si richiede \(t\neq s\), quindi nel tuo caso dato che per \(t\neq s\) non ci sono soluzioni la curva è semplice.