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Ciao a tutti
Volevo chiarire alcuni dubbi riguardo alle forme differenziali chiuse, ma su insiemi con i "buchi". In riferimento a una forma a valori in R2:
Davanti a un caso di questo tipo posso trovare una primitiva, e questo mi assicura dell'esattezza della forma, oppure posso cercare una curva chiusa, come la classica circonferenza con centro nel punto di non definizione, e vedere quanto fa la circuitazione.
Però, se la circuitazione fosse nulla, potrei concludere che la forma è esatta? Oppure deve valere per ogni curva chiusa?
E se fosse no-nulla, potrei concludere che non lo è?
Inoltre non ho ben capito il discorso sulla restrizione della forma ad un insieme semplicemente connesso, dove è esatta...

Grazie in anticipo

matt_frascarelli wrote:Ciao a tutti
Volevo chiarire alcuni dubbi riguardo alle forme differenziali chiuse, ma su insiemi con i "buchi". In riferimento a una forma a valori in R2:
Davanti a un caso di questo tipo posso trovare una primitiva, e questo mi assicura dell'esattezza della forma, oppure posso cercare una curva chiusa, come la classica circonferenza con centro nel punto di non definizione, e vedere quanto fa la circuitazione.
Grazie in anticipo
Però, se la circuitazione fosse nulla, potrei concludere che la forma è esatta? Oppure deve valere per ogni curva chiusa?
E se fosse no-nulla, potrei concludere che non lo è?

Se sei in \(R^2\) e il "buco" è unico si, basta una curva che "gira intorno al buco" con integrale nullo per dire che è esatta (questo perchè tutte le curve che "girano intorno al buco" sono omotope). E ovviamente basta una curva chiusa su cui l'integrale non è nullo per dire che non è esatta. Quando ci sono più buchi (o peggio siamo in dimensione maggiore di due) le cose sono un po' più complesse.

matt_frascarelli wrote: Inoltre non ho ben capito il discorso sulla restrizione della forma ad un insieme semplicemente connesso, dove è esatta...

Grazie in anticipo

Non so bene a cosa ti riferisci. Comunque: c'è un teorema che dice che se una forma è chiusa allora l'integrale su due curve omotope è lo stesso e dato che in un semplicemente connesso ogni curva chiusa è omotopa ad una costante (cioè alla curva che rimane ferma in un punto) allora l'integrale di una forma chiusa su qualunque curva chiusa è nullo, quindi la forma è esatta.

Grazie mille prof.
Riguardo alla seconda parte della domanda sono stato vago perchè sinceramente non sapevo precisamente cosa cercare, ma il Teorema che ha enunciato è esattamente quello che volevo sapere.