Teoria: Calcolo vettoriale e integrali con parametro

[EmanueleBelli]

Ciao a tutti, in preparazione dell'orale di analisi 2 sto ispezionando i vari teoremi e c'è un problema che si è presentato 2 volte e che non riesco a risolvere
Prendiamo il primo caso:
Devo dimostrare che le forme differenziali chiuse ammettono primitive sugli stellati
faccio riferimento alla lezione 55 di AM2 2018
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Si definisce una certa V sperando che sia la primitiva \(\omega\) e si fa la derivata parziale per verificarlo
La derivata è un integrale con parametro che richiede un'ipotesi che non riesco a trovare in questo caso

Teorema derivata dell'integrale con parametro
(a)Siano \(t_1,t_2 \in\mathbb{R}\) con \(t_1<t_2\)
(b)sia \(\Omega\subseteq \mathbb{R}^n\) misurabile e limitato
(c)\(f:(t_1,t_2)\times\Omega\to\mathbb{R}\) integrabile in \(\Omega\)
(d)\(f\) derivabile rispetto a t, con \(f_t(t,x)\) uniformemente continua in \((t_1,t_2)\times\Omega\)
definiamo \(\phi (t) := \int_\Omega f(t,x)dx\)
\(\Rightarrow \phi '(t) = \int_\Omega f_t(t,x)dx\) (la derivata dell'integrale e l'integrale della derivata)

Dunque, quello che non riesco a trovare per questa V, che speriamo sia la primitiva di \(\omega\), è l'ipotesi (d), l'uniforme continuità insomma. In effetti basta meno dell'uniforme continuità in \((t_1,t_2)\times\Omega\), basterebbe la continuità di \(f_t\) in t uniformemente rispetto a x (concetto che per altro non ho ben capito, come si definisce questa continuità in una variabile uniforme rispetto ad un'altra)

scusate la verbosità ma è un problema abbastanza sottile e complicato da esporre
e se avete letto fin qui vi ringrazio

[C_Paradise]

Ciao! Provo a risponderti io

Partiamo con due parole sulla continuità in una variabile uniforme rispetto all'altra.

Sia \(f(x,y) \colon A \times B \to \mathbb{R}\) con \(A \subset \mathbb{R}^n, \ B \subset \mathbb{R}^m\) diciamo che \(f\) è continua in \(x\) uniformemente in \(y\) se

\(\forall x \in A \ \forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \text{tale che} \ \forall z \in B_\delta(x) \cap A, \forall y \in B \ \text{si abbia} \ |f(x,y)-f(z,y)| < \varepsilon\).

Questa definizione non sfrutta il fatto che siamo in \(\mathbb{R}\) né in partenza né in arrivo quindi volendo puoi sostituire \(A \ \text{e} \ \mathbb{R}\) con due spazi metrici qualsiasi e \(B\) con un qualsiasi spazio topologico o anche solo un insieme. Volendo andare ancora oltre potremmo chiedere che \(A\) e il codominio siano solo spazi topologici, cioè \(f(x,y) \colon A \times B \to C\) chiedendo poi che per ogni \(y \in B\) la funzione \(f_y(x) := f(x,y)\) sia continua e tale che preso un aperto \(U \subset C\) si abbia che \(\bigcap_{y \in B} f_y^{-1}(U)\) sia aperto in \(A\).

Torniamo al caso in cui \(f(x,y) \colon A \times B \to \mathbb{R}\) con \(A \subset \mathbb{R}^n, \ B \subset \mathbb{R}^m\), abbiamo chiaramente che se \(f\) è uniformemente continua nella coppia allora è continua in x uniformemente in y, d'altra parte questa ultima proprietà è abbastanza debole in quanto non garantisce nemmeno la continuità nella coppia, basta considerare \(f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) definita costantemente uguale a 1 nel semispazio superiore chiuso e 0 in quello inferiore aperto. Non solo ma nemmeno la continuità nella coppia garantisce la proprietà, come mostra la funzione \(f(x,y)=xy\) definita su tutto il piano.

Fatte queste premesse vediamo cosa succede con gli integrali dipendenti da un parametro.

Per prima cosa nota che rispetto all'enunciato che hai postato tu, nel teorema della primitiva il parametro e la variabile di integrazione sono invertite, infatti integriamo in \(dt\) e abbiamo \(n\) parametri dati da \(x_1,...,x_n\) quindi per applicare lo scambio è sufficiente mostrare che esiste un palla centrata in \(x_0\) con chiusura contenuta nello stellato, a quel punto hai che la derivata parziale \(i-\)esima \(f_{x_i}(t,x)\) è uniformemente continua in \([0,1] \times \bar{B}_{\delta}(x_0)\) (infatti è continua perché i coefficienti della forma sono regolari + siamo in un compatto) e quindi abbiamo quello che volevamo.

Il fatto da tenere a mente secondo me (almeno in presenza di regolarità) è che quando il dominio di integrazione è compatto allora sei tranquillo perché derivare è un discorso locale e quindi riesci a trovare un intorno compatto del punto e ottenere l'uniforme continuità nel prodotto dato dal dominio di integrazione e l'intorno compatto. I problemi nascono quando il dominio di integrazione non è compatto, ma nel teorema della primitiva nello stellato l'insieme di integrazione è \([0,1]\) e quindi non ci sono problemi.

[EmanueleBelli]

Ti ringrazio.
Riepilogando prendo un punto \(x_0=(x_1,...,x_n)\) in \(\Omega\), poiché è aperto trovo una pallettina chiusa \(\overline{B_\delta}(x_0)\) tutta dentro \(\Omega\). Lì ho uniforme continuità in \([0,1]\times\overline{B_\delta}(x_0)\) per Heine-Cantor e quindi in quell'insieme posso applicare il teorema.