Forum Studenti

Mi trovo alle prese con le schede di gauss-green 2 e mi trovo in difficoltà.

Cito il testo dell'esercizio.

Bordo del dominio :{ (cost,sent) , t[tex]\in[/tex][0,[tex]\pi[/tex]]}[tex]\cup[/tex]{y=0}

Funzione : y

Devo calcolarne il flusso.... io ero partito facendo il disegno e vedendo che tutti e due i pezzi del bordo del dominio sono orientati in senso positivo....poi non ho saputo più cosa usare

Filippo.ingrasciotta wrote:Mi trovo alle prese con le schede di gauss-green 2 e mi trovo in difficoltà.

Cito il testo dell'esercizio.

Bordo del dominio :{ (cost,sent) , t[tex]\in[/tex][0,[tex]\pi[/tex]]}[tex]\cup[/tex]{y=0}

Funzione : y

Devo calcolarne il flusso.... io ero partito facendo il disegno e vedendo che tutti e due i pezzi del bordo del dominio sono orientati in senso positivo....poi non ho saputo più cosa usare

Il flusso si calcola di funzioni vettoriali non scalari, leggi bene il testo e postalo correttamente.

Calcolare gli integrali delle funzioni sui domini dati. i domini vengono assegnati mediante una caratterizzazione del loro bordo. Se tale bordo viene indicato con un'unione si deve intendere: delimitato dalla curva ( risp. superficie)...e dalla curva (risp. superficie)

Filippo.ingrasciotta wrote:Mi trovo alle prese con le schede di gauss-green 2 e mi trovo in difficoltà.

Cito il testo dell'esercizio.

Bordo del dominio :{ (cost,sent) , t[tex]\in[/tex][0,[tex]\pi[/tex]]}[tex]\cup[/tex]{y=0}

Funzione : y

Devo calcolarne il flusso.... io ero partito facendo il disegno e vedendo che tutti e due i pezzi del bordo del dominio sono orientati in senso positivo....poi non ho saputo più cosa usare

mi pare che si tratti di un semplice integrale multiplo...non vedo motivi per dover applicare GG

se così fosse credo che andrebbe postato in "Calcolo integrale in più variabili"

allego lo svolgimento

Intanto grazie per la spiegazione .
Avevo nominato gauss green perché questo esercizio e sotto il nome di Gauss Green 2 quindi mi stavo scervellando di come dovevo applicare la formula a questo esercizio, invece bastava un semplice integrale curvilineo

E' vero che si puo' fare anche senza Gauss-Green: come la maggior parte degli esercizi si puo' fare i vari modi. Io però consiglierei di farlo anche con Gauss-Green, tanto per capire come si fanno con quella tecnica...

ghisi wrote:E' vero che si puo' fare anche senza Gauss-Green: come la maggior parte degli esercizi si puo' fare i vari modi. Io però consiglierei di farlo anche con Gauss-Green, tanto per capire come si fanno con quella tecnica...

Quindi mi dovrei calcolare [tex]\int f divE dxdy[/tex] sulla curva considerando E un campo di vettori tale che divE=1

Giusto?!

oppure consideri [tex]f(x,y)=div(\overline{E})=y[/tex] e per esempio puoi prendere [tex]\overline{E}=(xy, 0)[/tex] a cui poi applicare GG, l'unica cosa a cui stare attenti è che in questo caso i bordi sono [tex]2[/tex] e bisogna tenere presente il verso della normale

Propongo l'esercizio subito dopo della tabella, e il mio ragionamento e mi spiegate dove sbaglio..
Sia [tex]\partial\Omega ={(t,2t) t\in [0,1]} \cup {y=2} \cup {x=0}[/tex]
F(x,y) =[tex]x^2[/tex]

allora per Gauss Green:
[tex]\int_{\Omega}^{} f divE\, dx dy[/tex]=[tex]-\int_{\Omega}^{} \nabla f * E \, dxdy +\int_{\partial\Omega}^{} f E*v \, ds[/tex]

quindi ho ipotizzato di avere un E tale che divE=1 e ho scelto E=(1,y)
ricavo in oltre che [tex]\nabla f =(2x,0)[/tex]
quindi
[tex]-\int_{\Omega}^{} \nabla f * E \, dxdy = - \int_{0}^{1} dx \int_{2x}^{2} dy 2x = -2/3[/tex]

ora calcolo l'integrali curvilinei sui 3 bordi.
L'ultimo, quello relativo alle asse Y (x=0) fa 0.

il primo è orientato positivamente e ha versore tangente = [tex](2,-1)/ \sqrt5[/tex]

quindi
[tex]\int_{\partial\Omega}^{} f E*v \, ds = \int_{0}^{1} t^2 (2-2t) \,dt = -1/3[/tex]

il secondo parametrizzato (t,2) [tex]t\in[0,1][/tex] è orientato in senso negativo, quindi metto un meno davanti all'integrale e lo oriento in senso positivo e prendo come versore tangente il versore (0,1)
[tex]\int_{\partial\Omega}^{} f E*v \, ds =-\int_{0}^{1} 2t^2 \, dt = -2/3[/tex]

Qundi rimontando il tutto mi viene
[tex]\int_{\Omega}^{} f divE\, dx dy = -2/3 -1/3 -2/3 = -5/3[/tex]

Cosa che assolutamente non torna perché sul libro risulta essere 1/6

Prova a considerare [tex]f(x,y)=div(\overline{E})=x^2[/tex] e per esempio puoi prendere [tex]\overline{E}=(x^3/3, 0)[/tex] a cui poi applicare GG, l'unica cosa a cui stare attenti è che in questo caso i bordi sono [tex]3[/tex] e bisogna tenere presente il verso della normale

Ho notato che l'integrale mi rimane solo quello sul bordo, per intendersi su ds, mentre quello col differenziale di f per il campo E mi fa sempre 0, così facendo mi stanno tornando tutti.

Panico momentaneo!
L'esercizio che state discutendo, prima di provare a farlo con gauss green, ho provato a risolverlo calcolando semplicemente l'integrale doppio della funzione sul triangolo che costituisce l'insieme omega....il problema è che svolgendo i calcoli considerando l'insieme prima normale rispetto all'asse y e poi normale rispetto all'asse x, mi escono due risultati diversi! D:
Il secondo risultato mi esce giusto, ma per rendere quel triangolo normale rispetto all'asse y, è giusto far variare y da 0 a 2 e x da 0 a (y/2) ?? Non riesco a trovare l'errore!!

Altri problemi...
Parlo degli esercizi di gauss green 2 in tre dimensioni.

Nel terzo esercizio ho come insieme omega: {x+y+z=pigreco, x,y,z>=0} U {x=0} U {y=0} U {z=0} e la funzione da integrare è sinx...
Come al solito ho pensato di poterlo fare senza applicare gauss green e ho provato a farlo sia per sezioni che per colonne...mi escono 2 risultati diversi e nessuno dei due giusto! -.-"
Prima ho fatto variare x da 0 a pigreco, y da 0 a (-x+pigreco) e z da 0 a (pireco-x-y)
e poi ho fatto variare z da 0 a pigreco, x da 0 a (pigreco-z) e y da 0 a (pigreco-x)...
C'è qualcosa di sbagliato nell'impostazione?

e.rapuano wrote:Panico momentaneo!
L'esercizio che state discutendo, prima di provare a farlo con gauss green, ho provato a risolverlo calcolando semplicemente l'integrale doppio della funzione sul triangolo che costituisce l'insieme omega....il problema è che svolgendo i calcoli considerando l'insieme prima normale rispetto all'asse y e poi normale rispetto all'asse x, mi escono due risultati diversi! D:
Il secondo risultato mi esce giusto, ma per rendere quel triangolo normale rispetto all'asse y, è giusto far variare y da 0 a 2 e x da 0 a (y/2) ?? Non riesco a trovare l'errore!!

l'impostazione dovrebbe essere giusta...probabilmente stai commettendo qualche errore nel calcolo dell'integrale

allego lo svolgimento con i vari metodi

e.rapuano wrote:Altri problemi...
Parlo degli esercizi di gauss green 2 in tre dimensioni.

Nel terzo esercizio ho come insieme omega: {x+y+z=pigreco, x,y,z>=0} U {x=0} U {y=0} U {z=0} e la funzione da integrare è sinx...
Come al solito ho pensato di poterlo fare senza applicare gauss green e ho provato a farlo sia per sezioni che per colonne...mi escono 2 risultati diversi e nessuno dei due giusto! -.-"
Prima ho fatto variare x da 0 a pigreco, y da 0 a (-x+pigreco) e z da 0 a (pireco-x-y)
e poi ho fatto variare z da 0 a pigreco, x da 0 a (pigreco-z) e y da 0 a (pigreco-x)...
C'è qualcosa di sbagliato nell'impostazione?

nel thread "Applicazione della formula di Gauss-Green" c'è un esercizio molto simile "140614 - formula di GG 02"...prova a confrontare il tuo svolgimento con quello