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Ho dei problemi con questi due esercizi:

Indico con [tex]S[/tex] una superficie, con [tex]P[/tex] un punto appartenente o meno alla superficie, con [tex]v_p[/tex] la direzione normale ad [tex]S[/tex] nel punto [tex]P[/tex], calcolare il flusso del vettore rotore di [tex]F[/tex].

1) [tex]S= x^2+y^2+z=1, z\geq0[/tex], [tex]P=(1, 0, 0)[/tex], [tex]v_p=(2, 0, 1)[/tex], [tex]F=(xy, z, arctan(x+y))[/tex].

2) [tex]S= 4x^2+e^zy^2+z^2=1, y\geq0[/tex], [tex]P=(0, 0, 1)[/tex], [tex]v_p=(0, 0, 1)[/tex], [tex]F=(sin (y), xe^z, xz^2)[/tex].

Mi blocco subito per colpa della parametrizzazione, non riesco ad individuare la figura e nemmeno a parametrizzarla

Gabe wrote:Ho dei problemi con questi due esercizi:

Indico con [tex]S[/tex] una superficie, con [tex]P[/tex] un punto appartenente o meno alla superficie, con [tex]v_p[/tex] la direzione normale ad [tex]S[/tex] nel punto [tex]P[/tex], calcolare il flusso del vettore rotore di [tex]F[/tex].

1) [tex]S= x^2+y^2+z=1, z\geq0[/tex], [tex]P=(1, 0, 0)[/tex], [tex]v_p=(2, 0, 1)[/tex], [tex]F=(xy, z, arctan(x+y))[/tex].

2) [tex]S= 4x^2+e^zy^2+z^2=1, y\geq0[/tex], [tex]P=(0, 0, 1)[/tex], [tex]v_p=(0, 0, 1)[/tex], [tex]F=(sin (y), xe^z, xz^2)[/tex].

Mi blocco subito per colpa della parametrizzazione, non riesco ad individuare la figura e nemmeno a parametrizzarla

Cosa dice Stokes? Non ti serve parametrizzare la superficie. Puoi o ridurti a fare un integrale sul bordo della superficie oppure calcolare il flusso attraverso un'altra superficie più semplice con lo stesso bordo.

ghisi wrote:

Gabe wrote:Ho dei problemi con questi due esercizi:

Indico con [tex]S[/tex] una superficie, con [tex]P[/tex] un punto appartenente o meno alla superficie, con [tex]v_p[/tex] la direzione normale ad [tex]S[/tex] nel punto [tex]P[/tex], calcolare il flusso del vettore rotore di [tex]F[/tex].

1) [tex]S= x^2+y^2+z=1, z\geq0[/tex], [tex]P=(1, 0, 0)[/tex], [tex]v_p=(2, 0, 1)[/tex], [tex]F=(xy, z, arctan(x+y))[/tex].

2) [tex]S= 4x^2+e^zy^2+z^2=1, y\geq0[/tex], [tex]P=(0, 0, 1)[/tex], [tex]v_p=(0, 0, 1)[/tex], [tex]F=(sin (y), xe^z, xz^2)[/tex].

Mi blocco subito per colpa della parametrizzazione, non riesco ad individuare la figura e nemmeno a parametrizzarla

Cosa dice Stokes? Non ti serve parametrizzare la superficie. Puoi o ridurti a fare un integrale sul bordo della superficie oppure calcolare il flusso attraverso un'altra superficie più semplice con lo stesso bordo.

allego lo svolgimento dei due esercizi

Ora va meglio grazie mille

Gimusi, perdonami, ma nel primo esercizio, quello in cui abbiamo una specie di semisfera, non capisco perché, quando ti calcoli il rotore, ti venga 0 come prima componente. C di y - B di z non fa 0 :/

Angelica27 wrote:Gimusi, perdonami, ma nel primo esercizio, quello in cui abbiamo una specie di semisfera, non capisco perché, quando ti calcoli il rotore, ti venga 0 come prima componente. C di y - B di z non fa 0 :/

certo hai ragione...anche se non influenza il risultato...il calcolo del rotore è sbagliato

Testo ese:

S:([tex]x^2+ 2 y^2 + z^2 =9 , y\ge 0[/tex])

F ([tex]x e^x +y , x z^2 ,x[/tex])

P:(3,0,0) vp(1,0,0)

Mediante la formula di stokes mi ritrovo a calcolare il flusso sul bordo di S.

Bordo di S ([tex]x^2 + z^2 =9[/tex]) parametrizzato diventa ([tex]3cos\theta , 0 , 3 sen\theta[/tex])

il versore tangente sarà ([tex]-3 sen\theta ,0, 3 cos\theta[/tex]) {Molto probabilmente mi manca un fratto 3 poichè il modulo del versore vale 3.. ma a regola tanto dovrei rimoltiplicare per 3 quando faccio il passaggio da ds a [tex]d\theta[/tex] quindi dovrebbe essere ininfluente sul risultato finale}

Facendo F*vt = [tex]-9e^{3sen\theta} cos\theta sen\theta + 9 cos\theta ^2[/tex]

e svolgento [tex]\int_{0}^{2\pi}-9e^{3sen\theta} cos\theta sen\theta + 9 cos\theta ^2 \, d\theta = 9\pi[/tex]

il risultato del testo è [tex]-9\pi[/tex] quindi penso che abbia sbagliato l'orientazione, però ricontrollando vedo che per [tex]\theta =0[/tex] ottengo il vettore (0,0,3) che è tangente al bordo con orientazione positiva....

Filippo.ingrasciotta wrote:Testo ese:

S:([tex]x^2+ 2 y^2 + z^2 =9 , y\ge 0[/tex])

F ([tex]x e^x +y , x z^2 ,x[/tex])

P:(3,0,0) vp(1,0,0)

Mediante la formula di stokes mi ritrovo a calcolare il flusso sul bordo di S.

Bordo di S ([tex]x^2 + z^2 =9[/tex]) parametrizzato diventa ([tex]3cos\theta , 0 , 3 sen\theta[/tex])...

la parametrizzazione non va bene perché non rispetta la scelta fatta sulla normale

allego quella che dovrebbe essere l'impostazione corretta

GIMUSI wrote:

Filippo.ingrasciotta wrote:Testo ese:

S:([tex]x^2+ 2 y^2 + z^2 =9 , y\ge 0[/tex])

F ([tex]x e^x +y , x z^2 ,x[/tex])

P:(3,0,0) vp(1,0,0)

Mediante la formula di stokes mi ritrovo a calcolare il flusso sul bordo di S.

Bordo di S ([tex]x^2 + z^2 =9[/tex]) parametrizzato diventa ([tex]3cos\theta , 0 , 3 sen\theta[/tex])...

la parametrizzazione non va bene perché non rispetta la scelta fatta sulla normale

allego quella che dovrebbe essere l'impostazione corretta

Non mi è ben chiaro perché la parametrizzazione che ho dato non va bene, dopotutto e una circonferenza sul piano z-x dove ho considerato l'asse z come quello verticale e l'asse x come quello orizzontale. Il senso di percorrenza per essere positivo deve essere quello antiorario. Per come avevo impostato la parametrizzazione inoltre avevo:

([tex]3cos\theta , 0 , 3 sen\theta[/tex]) quindi per [tex]\theta=0[/tex] ho (3,0,0) e mi trovo sull'asse delle x positive mentre per [tex]\theta=\pi/2[/tex] ottengo (0,0,3) sull'asse delle z positive quindi il senso di percorrenza è antiorario.

Inoltre considerando il vettore tangente e concorde al senso di rotazione sia nel punto [tex]\theta=0[/tex] sia nel punto [tex]\theta= \pi/2[/tex]

Negli ESE fatti ho notato che non ho mai sfruttato i dati relativi a P e vp .....dipende da questo il mio errore!? Se mi potresti spiegare meglio perché non va bene la parametrizzazione perché ero convinto di aver fatto tutti i ragionamenti giusti

Filippo.ingrasciotta wrote:
Non mi è ben chiaro perché la parametrizzazione che ho dato non va bene, dopotutto e una circonferenza sul piano z-x dove ho considerato l'asse z come quello verticale e l'asse x come quello orizzontale. Il senso di percorrenza per essere positivo deve essere quello antiorario. Per come avevo impostato la parametrizzazione inoltre avevo:

([tex]3cos\theta , 0 , 3 sen\theta[/tex]) quindi per [tex]\theta=0[/tex] ho (3,0,0) e mi trovo sull'asse delle x positive mentre per [tex]\theta=\pi/2[/tex] ottengo (0,0,3) sull'asse delle z positive quindi il senso di percorrenza è antiorario.

Inoltre considerando il vettore tangente e concorde al senso di rotazione sia nel punto [tex]\theta=0[/tex] sia nel punto [tex]\theta= \pi/2[/tex]

Negli ESE fatti ho notato che non ho mai sfruttato i dati relativi a P e vp .....dipende da questo il mio errore!? Se mi potresti spiegare meglio perché non va bene la parametrizzazione perché ero convinto di aver fatto tutti i ragionamenti giusti

la domanda è: antiorario rispetto a cosa?

la questione orientazione è spiegata approfonditamente nella lezione 51: "l'orientazione canonica è quella di un omino che percorre il bordo tenendo la superficie a sinistra e rimanendo in piedi secondo il vettore normale che orienta la superficie"

quindi, se la normale è quella concorde a (1,0,0) in (3,0,0), la parametrizzazione "canonica" ha verso opposto rispetto a quella da te indicato

in alternativa devi aggiungere un segno meno davanti all'integrale

scrivo il testo di 4 ese che non mi sono tornati..

1) S= ([tex]x + y^2 + z= 1, x\ge0 , z\ge0[/tex]) P(1,0,0) vp(1,0,1) F([tex]xz,x,senx senz[/tex])
2) S=([tex]x + y^2 -z = 4 , x\ge0 , z\le0[/tex]) P(0,2,0) vp(1,4,-1) F([tex]x-y, y^2, xyz[/tex])
3) S=([tex]x^2 + y^2 =4 , x\ge0, 0\le z\le1[/tex]) P(2,0,0) vp(1,0,0) F([tex]x+y, z, x-y[/tex])
4) S=([tex]x^2 + y^4 +z^4 =1 , y\ge0[/tex]) P(1,0,0) vp(1,0,0) F([tex]1,2x,2y[/tex])

Filippo.ingrasciotta wrote:scrivo il testo di 4 ese che non mi sono tornati..

1) S= ([tex]x + y^2 + z= 1, x\ge0 , z\ge0[/tex]) P(1,0,0) vp(1,0,1) F([tex]xz,x,senx senz[/tex])
2) S=([tex]x + y^2 -z = 4 , x\ge0 , z\le0[/tex]) P(0,2,0) vp(1,4,-1) F([tex]x-y, y^2, xyz[/tex])
3) S=([tex]x^2 + y^2 =4 , x\ge0, 0\le z\le1[/tex]) P(2,0,0) vp(1,0,0) F([tex]x+y, z, x-y[/tex])
4) S=([tex]x^2 + y^4 +z^4 =1 , y\ge0[/tex]) P(1,0,0) vp(1,0,0) F([tex]1,2x,2y[/tex])

prova a postare lo svolgimento di un esercizio...così magari si riesce a capire dove potrebbe essere l'errore

[tex]S= (x + y^2 + z= 1, x\ge0 , z\ge0)[/tex] P(1,0,0) vp(1,0,1) F(xz,x,senx senz)

parametrizzo sul piano y=0 ottenendo

[tex]\partial S = (x+z=1) =(t,0,1-t) t\in[0,1][/tex]
il vt mi viene (1,0,-1)

[tex]\int_{\partial S}^{} F*vt \,ds= - \int xz - senx senz \,ds[/tex] = [tex]\int_{0}^{1} -t*(1-t) + sent*sen(1-t) dt= -1/6 + 1/2 (sen1-cos1)[/tex]

ho provato a parametrizzare anche in un altro modo, sul piano z=0

[tex]\partial S = (x+y^2=1) =(t,\sqrt{1-t},0) t\in[0,1][/tex]
vt ([tex]1, \frac{-1}{2\sqrt{1-t}},0[/tex])

facendo l'integrale mi viene

[tex]\int_{0}^{1} \frac{-t}{2\sqrt{1-t}} \, dt = -2/3[/tex]

Mi pare strano che mi vengano due valori diversi e inoltre il risultato giusto è [tex]4/3[/tex]

Filippo.ingrasciotta wrote:[tex]S= (x + y^2 + z= 1, x\ge0 , z\ge0)[/tex] P(1,0,0) vp(1,0,1) F(xz,x,senx senz)

parametrizzo sul piano y=0 ottenendo

[tex]\partial S = (x+z=1) =(t,0,1-t) t\in[0,1][/tex]
..

mi pare che il bordo non vada bene...credo che dovrebbe essere costituito da due tratti...hai provato a fare un disegno della superficie S?

GIMUSI wrote:

Filippo.ingrasciotta wrote:[tex]S= (x + y^2 + z= 1, x\ge0 , z\ge0)[/tex] P(1,0,0) vp(1,0,1) F(xz,x,senx senz)

parametrizzo sul piano y=0 ottenendo

[tex]\partial S = (x+z=1) =(t,0,1-t) t\in[0,1][/tex]
..

mi pare che il bordo non vada bene...credo che dovrebbe essere costituito da due tratti...hai provato a fare un disegno della superficie S?

Onestamente no, anche perchè mi sono posto sempre il problema di disegnare il bordo di S e non la superficie totale....ma per avere il bordo non basta semplicemente "azzerare una variabile" e parametrizzare quel bordo?