integrali superficiali

[Gabe]

Giusto, mi ero scordato di specificarla

[Filippo.ingrasciotta]

Ho dei problemi con questi due esercizi: Calcolare il Flusso di E in S

[tex]1) E=(0,xy,xz),[/tex] [tex][S=(z^2+y, y, z), (y, z) \in[/tex] [tex]T=(y, z) : 0 \leq z \leq y \leq 1][/tex]

[tex]2) E=(x,xy,-xz), S=[z-y^2=1, x^2+y^2<=1][/tex]

in questi casi credo sia conveniente il calcolo diretto del flusso

allego un possibile svolgimento dei due esercizi

L'allegato relativo al primo esercizio penso sia sbagliato perchè il risultato non coincide con quello del libro. L'ho svolto e anche a me torna come il libro, cioè -31/60


Domandona relativo al primo esercizio della discussione..... Riscrivo i dati dell'esercizio così risulta più semplice:
E =[tex](y^3,z-x,x^2)[/tex] ed S: { [tex]z=x^2 +y^2[/tex],[tex]x^2 + y^2 \le 1[/tex]}
Io avevo provato a parametrizzarla così
x=[tex]\rho cos \theta[/tex]
y=[tex]\rho sen\theta[/tex]
z=[tex]x^2 + y^2[/tex] = [tex]\rho ^2 cos\theta ^2 + \rho ^2 sen\theta ^2[/tex] = [tex]\rho ^2[/tex]
avendo così [tex](\rho , \theta) \in [0,1]x[0,2\pi][/tex]

a questo punto scrivevo la matrice per trovare il vettore tangente che mi veniva così
N= [tex](-2\rho ^2 cos\theta , -2 \rho ^2 sen\theta, \rho)[/tex] = [tex](\rho cos\theta, \rho sen\theta, -1)[/tex]

quindi facendo E*N e svolgendo l'integrale il risultato mi viene [tex]\pi /3[/tex]......ovviamente è sbagliato perchè non torna col libro, ma è così sbagliata la mia parametrizzazione?

[ghisi]

S: { [tex]z=x^2 +y^2[/tex],[tex]x^2 + y^2 \le 1[/tex]}
Io avevo provato a parametrizzarla così
x=[tex]\rho cos \theta[/tex]
y=[tex]\rho sen\theta[/tex]
z=[tex]x^2 + y^2[/tex] = [tex]\rho ^2 cos\theta ^2 + \rho ^2 sen\theta ^2[/tex] = [tex]\rho ^2[/tex]
avendo così [tex](\rho , \theta) \in [0,1]x[0,2\pi][/tex]

a questo punto scrivevo la matrice per trovare il vettore tangente che mi veniva così
N= [tex](-2\rho ^2 cos\theta , -2 \rho ^2 sen\theta, \rho)[/tex] = [tex](\rho cos\theta, \rho sen\theta, -1)[/tex]

A parte il fatto che si tratta del vettore normale, sicuro sia giusto?

[Filippo.ingrasciotta]

S: { [tex]z=x^2 +y^2[/tex],[tex]x^2 + y^2 \le 1[/tex]}
Io avevo provato a parametrizzarla così
x=[tex]\rho cos \theta[/tex]
y=[tex]\rho sen\theta[/tex]
z=[tex]x^2 + y^2[/tex] = [tex]\rho ^2 cos\theta ^2 + \rho ^2 sen\theta ^2[/tex] = [tex]\rho ^2[/tex]
avendo così [tex](\rho , \theta) \in [0,1]x[0,2\pi][/tex]

a questo punto scrivevo la matrice per trovare il vettore tangente che mi veniva così
N= [tex](-2\rho ^2 cos\theta , -2 \rho ^2 sen\theta, \rho)[/tex] = [tex](\rho cos\theta, \rho sen\theta, -1)[/tex]

A parte il fatto che si tratta del vettore normale, sicuro sia giusto?

ops mi sono perso un 2 nella riscrittura!!

N= [tex](2\rho cos\theta,2 \rho sen\theta, -1)[/tex] .......nella formula dovrei usare il versore giusto? Perchè se facessi il modulo mi verrebbe |N|= [tex]\sqrt{ (2\rho cos\theta)^2 + (2\rho sen\theta)^2 +1}[/tex]= [tex]\sqrt{ 4 \rho^2 +1}[/tex] il che mi renderebbe il versore normale un po' una cosa brutta...

[ghisi]

N= [tex](2\rho cos\theta,2 \rho sen\theta, -1)[/tex] .......nella formula dovrei usare il versore giusto? Perchè se facessi il modulo mi verrebbe |N|= [tex]\sqrt{ (2\rho cos\theta)^2 + (2\rho sen\theta)^2 +1}[/tex]= [tex]\sqrt{ 4 \rho^2 +1}[/tex] il che mi renderebbe il versore normale un po' una cosa brutta...

Vediamo di fare un po' di chiarezza:

- integali superficiali in generale:

[tex]\displaystyle \int_S f(x,y,z) \, d\sigma.[/tex]

In questo caso, dopo aver scritto la parametrizzazione si calcola il vettore normale corrispondente (il primo che avevi scritto, senza normalizzare) e il "[tex]d\sigma[/tex]" corrisponde al modulo (o norma) di questo vettore.

- Flusso di un vettore attraverso una superficie orientata:

[tex]\displaystyle \int_S (F,\nu) \, d\sigma.[/tex]

In questo caso formalmente si deve calcolare il versore normale con il verso giusto (quindi il secondo che avevi scritto), fare il prodotto scalare e poi trattarlo come un integrale superficiale normale. Questo vuol dire che prima dividi per il modulo del vettore normale e poi moltiplichi per lo stesso, quindi le due operazioni si annullano a vicenda, per cui tanto vale non farle...

[Filippo.ingrasciotta]

Quindi facendo l'integrale di flusso mi verrebbe :

[tex]\int (y^3 , z-x , x^2) * (2\rho cos\theta , 2 \rho sen\theta , -1) d\sigma[/tex] = [tex]\int 2 \rho^4 sen\theta ^3 cos\theta + \int 2 \rho^3 sen\theta d\rho d\theta + \int 2 \rho^2 sen\theta cos \theta - \int \rho^2 cos\theta^2[/tex] e alla fine mi dovrebbe venire [tex]-\pi /3[/tex]

Mi scuso se negli integrali manca [tex]d\rho d\theta[/tex] ma altrimenti non mi visualizzava la scrittura in tex

[ghisi]

Quindi facendo l'integrale di flusso mi verrebbe :

[tex]\int (y^3 , z-x , x^2) * (2\rho cos\theta , 2 \rho sen\theta , -1) d\sigma[/tex] = [tex]\int 2 \rho^4 sen\theta ^3 cos\theta + \int 2 \rho^3 sen\theta d\rho d\theta + \int 2 \rho^2 sen\theta cos \theta - \int \rho^2 cos\theta^2[/tex] e alla fine mi dovrebbe venire [tex]-\pi /3[/tex]

Mi scuso se negli integrali manca [tex]d\rho d\theta[/tex] ma altrimenti non mi visualizzava la scrittura in tex

No, quello che hai usato come vettore normale NON è il vettore normale che ottieni dalla parametrizzazione, è un suo multiplo. Perchè hai buttato [tex]\rho?[/tex]

[Filippo.ingrasciotta]

Quindi facendo l'integrale di flusso mi verrebbe :

[tex]\int (y^3 , z-x , x^2) * (2\rho cos\theta , 2 \rho sen\theta , -1) d\sigma[/tex] = [tex]\int 2 \rho^4 sen\theta ^3 cos\theta + \int 2 \rho^3 sen\theta d\rho d\theta + \int 2 \rho^2 sen\theta cos \theta - \int \rho^2 cos\theta^2[/tex] e alla fine mi dovrebbe venire [tex]-\pi /3[/tex]

Mi scuso se negli integrali manca [tex]d\rho d\theta[/tex] ma altrimenti non mi visualizzava la scrittura in tex

No, quello che hai usato come vettore normale NON è il vettore normale che ottieni dalla parametrizzazione, è un suo multiplo. Perchè hai buttato [tex]\rho?[/tex]

Ora che ci penso nel vettore normale, dividendo per [tex]-\rho[/tex] oltre ad aver cambiato l'orientazione del vettore l'ho riscritto come un suo sottomultiplo.... Quindi mantenendo il vettore normale come trovato inizialmente mi dovrebbe tornare!?

[GIMUSI]

L'allegato relativo al primo esercizio penso sia sbagliato perchè il risultato non coincide con quello del libro. L'ho svolto e anche a me torna come il libro, cioè -31/60

potresti dirmi qual è il passaggio errato nel mio svolgimento..così lo correggo

Domandona relativo al primo esercizio della discussione..... Riscrivo i dati dell'esercizio così risulta più semplice:
E =[tex](y^3,z-x,x^2)[/tex] ed S: { [tex]z=x^2 +y^2[/tex],[tex]x^2 + y^2 \le 1[/tex]}
Io avevo provato a parametrizzarla così
x=[tex]\rho cos \theta[/tex]
y=[tex]\rho sen\theta[/tex]
z=[tex]x^2 + y^2[/tex] = [tex]\rho ^2 cos\theta ^2 + \rho ^2 sen\theta ^2[/tex] = [tex]\rho ^2[/tex]
avendo così [tex](\rho , \theta) \in [0,1]x[0,2\pi][/tex]

a questo punto scrivevo la matrice per trovare il vettore tangente che mi veniva così
N= [tex](-2\rho ^2 cos\theta , -2 \rho ^2 sen\theta, \rho)[/tex] = [tex](\rho cos\theta, \rho sen\theta, -1)[/tex]

quindi facendo E*N e svolgendo l'integrale il risultato mi viene [tex]\pi /3[/tex]......ovviamente è sbagliato perchè non torna col libro, ma è così sbagliata la mia parametrizzazione?

allego lo svolgimento del primo esercizio del thread con la tua "strana" parametrizzazione

[Filippo.ingrasciotta]

L'allegato relativo al primo esercizio penso sia sbagliato perchè il risultato non coincide con quello del libro. L'ho svolto e anche a me torna come il libro, cioè -31/60

potresti dirmi qual è il passaggio errato nel mio svolgimento..così lo correggo

È sbagliato il prodotto scalare E*n

[tex]N=(1,-1,-2z)[/tex]
[tex]E= (0,xy,zx)[/tex]

[tex]\int E*N dydz[/tex][tex]= \int -y(z^2+y) - z(z^2+y) 2z dydz[/tex][tex]=\int -2z^4 -3z^2 y -y^2 dydz= -31/60[/tex]

[GIMUSI]

È sbagliato il prodotto scalare E*n

[tex]N=(1,-1,-2z)[/tex]
[tex]E= (0,xy,zx)[/tex]

[tex]\int E*N dydz[/tex][tex]= \int -y(z^2+y) - z(z^2+y) 2z dydz[/tex][tex]=\int -2z^4 -3z^2 y -y^2 dydz= -31/60[/tex]

grazie...non lo vedevo proprio