dimostare l'indipendenza della lunghezza di una curva dalla sua parametrizzazione

[escrapo97]

salvo, sto cercando di dimostare che l(gamma)= S_[a,b] (|r'(t)|dt) =S_[c,d] (|r'(f(u)|du)
dove appunto r(t) e r(f(u)) sono due parametrizzazioni diverse della stessa curva; t varia tra a e b mentre f(u)=t varia tra c e d.

[g.delsarto2]

Ciao ,

dove assume i valori la curva?

Comunque supponiamo che \(\gamma\) sia un sottoinsieme di \(\mathbb{R}^2\). Sia \(r : [a,b]\rightarrow \mathbb{R}^2\) una parametrizzazione di \(\gamma\); sia \(r \circ f\), una riparametrizzazione della curva, con \(f:[c,d] \rightarrow [a,b]\) sufficientemente regolare (quanto?).

Vogliamo dimostrare che:

\(\displaystyle\int_a^b r'(t) \;dt = \int_c^d r(f(u))\,f'(u) \; du.\)

Ti viene in mente qualche teorema sugli integrali per cui l'uguaglianza precedente è vera ?

[Massimo Gobbino]

Osservo anche che il problema dovrebbe essere discusso nei dettagli durante il corso di Analisi 2 per Matematica, ad esempio alla lezione 50 del 2017/18.

P.S. E sposto nella sezione corretta.