Flusso attraverso superficie parametrica

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Salve, vorrei qualche suggerimento sul seguente esercizio:
Sia S la superficie data da:

\(\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}cos(u)cos(v) \\ u-v \\ u\end{pmatrix} \qquad \pi\leq u\leq\pi, \quad 0\leq v\leq\pi\)
con normale in \((0,0,\pi/2)\) che punta verso le x negative. Si chiede il flusso di \(F=\begin{pmatrix}-3x+y^2 \\ 2y \\ z \end{pmatrix}\) attraverso S.
Svolgendolo con la definizione ottengo questo integrale:

\(\int_{S} [-3cos(u)cos(v)+(u-v)^2-2(u-v)sin(v)cos(u)+u(sin(u)cos(v)+sin(v)cos(u))]ds\)

che sarebbe un po' laborioso da svolgere, quindi mi chiedevo se ci fosse qualche altro metodo più veloce. Noto che F ha divergenza nulla, quindi si potrebbe usare uno dei metodi alternativi, che però richiederebbe di tappare S oppure di scriverne il bordo, cose che non sono riuscito a fare.
Grazie

[ghisi]

Prova ad usare le simmetrie per eliminare gli integrali che vengono banalmente 0 e vedrai che il conto si riduce molto (suppongo sia \(-\pi\leq u\leq \pi\)).

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Giusto, non ci avevo pensato. In effetti è diventato molto più semplice, grazie