Forme differenziali chiuse su insiemi non sempl. connessi

[matt_frascarelli]

Ciao a tutti
Volevo chiarire alcuni dubbi riguardo alle forme differenziali chiuse, ma su insiemi con i "buchi". In riferimento a una forma a valori in R2:
Davanti a un caso di questo tipo posso trovare una primitiva, e questo mi assicura dell'esattezza della forma, oppure posso cercare una curva chiusa, come la classica circonferenza con centro nel punto di non definizione, e vedere quanto fa la circuitazione.
Però, se la circuitazione fosse nulla, potrei concludere che la forma è esatta? Oppure deve valere per ogni curva chiusa?
E se fosse no-nulla, potrei concludere che non lo è?
Inoltre non ho ben capito il discorso sulla restrizione della forma ad un insieme semplicemente connesso, dove è esatta...

Grazie in anticipo

[ghisi]

Ciao a tutti
Volevo chiarire alcuni dubbi riguardo alle forme differenziali chiuse, ma su insiemi con i "buchi". In riferimento a una forma a valori in R2:
Davanti a un caso di questo tipo posso trovare una primitiva, e questo mi assicura dell'esattezza della forma, oppure posso cercare una curva chiusa, come la classica circonferenza con centro nel punto di non definizione, e vedere quanto fa la circuitazione.
Grazie in anticipo
Però, se la circuitazione fosse nulla, potrei concludere che la forma è esatta? Oppure deve valere per ogni curva chiusa?
E se fosse no-nulla, potrei concludere che non lo è?

Se sei in \(R^2\) e il "buco" è unico si, basta una curva che "gira intorno al buco" con integrale nullo per dire che è esatta (questo perchè tutte le curve che "girano intorno al buco" sono omotope). E ovviamente basta una curva chiusa su cui l'integrale non è nullo per dire che non è esatta. Quando ci sono più buchi (o peggio siamo in dimensione maggiore di due) le cose sono un po' più complesse.

Inoltre non ho ben capito il discorso sulla restrizione della forma ad un insieme semplicemente connesso, dove è esatta...

Grazie in anticipo

Non so bene a cosa ti riferisci. Comunque: c'è un teorema che dice che se una forma è chiusa allora l'integrale su due curve omotope è lo stesso e dato che in un semplicemente connesso ogni curva chiusa è omotopa ad una costante (cioè alla curva che rimane ferma in un punto) allora l'integrale di una forma chiusa su qualunque curva chiusa è nullo, quindi la forma è esatta.

[matt_frascarelli]

Grazie mille prof.
Riguardo alla seconda parte della domanda sono stato vago perchè sinceramente non sapevo precisamente cosa cercare, ma il Teorema che ha enunciato è esattamente quello che volevo sapere.