Gauss Green 2

[AntonioC]

Ciao a tutti

Qualcuno potrebbe darmi una mano nella risoluzione di quest esercizio?
Calcolare gli integrali delle funzioni sui domini dati
Caratterizzati mediante il loro bordo
{(Sint,cosv,(cost)^3),(t,v)appartengono [0,2pigreco]x[0,pigreco]}U{y=1}U{y=-1} funzione 1
Grazie per l attenzione.

[ghisi]

Il bordo del dominio è formato da tre superfici: quella data in forma parametrica (\(S\)) e le due superfici piane \(S_1\) e \(S_2\) che servono a chiudere il dominio. Su \(S_1\) e \(S_2\) la normale ha solo la componente \(y\). Se vuoi applicare Gauss-Green ti serve un campo di vettori la cui divergenza sia 1. Se prendi ad esempio \(F=(0,0,z)\), il prodotto scalare con la normale è nullo su \(S_1\) e \(S_2\). Rimane quindi solo l'integrale su \(S\). Devi calcolare il vettore normale alla superficie \(S\) avendo cura di prendere quello che punta verso l'esterno del dominio. A questo punto il tuo integrale diventa

\(\displaystyle\int_S (F,\nu) \, d\sigma = \int_{[0,2\pi]\times[0,\pi]} \cos^4 t\cdot\sin v\, dt\, dv\)

[AntonioC]

Grazie