integrali superficiali

[matt_93]

Non mi torna questo esercizio:
-campo [tex](y^{3}, z-x, x^{2})[/tex]
-superficie S [tex]z=x^{2}+y^{2}, x^{2} +y^{2} <=1[/tex]
Calcolare il flusso attraverso la superficie, ipotizzando come orientazione la normale uscente.

[GIMUSI]

allego lo svolgimento nei due modi che ricalcano quanto fatto nelle lezioni 49 e 50

[Massimo Gobbino]

Si può fare anche con Stokes?

[GIMUSI]

Si può fare anche con Stokes?

si perché il campo ha divergenza nulla e l'insieme di definizione è stellato (lez. 46) e quindi si può scrivere come rotore di qualcosa, ad esempio:

[tex]A = z^2/2-zx[/tex]

[tex]B=x^3/3[/tex]

[tex]C=y^4/4[/tex]

a questo punto per stokes il flusso risulta uguale alla circuitazione lungo il bordo (circonferenza a z=1 di raggio unitario, percorsa in senso orario)

e la circuitazione diventa l'integrale della forma differenziale [tex]Adx+Bdy+Cdz[/tex] lungo il bordo (lez. 52)

[GIMUSI]

allego lo svolgimento dell'esercizio nel quale ho aggiunto anche il "modo 3" con stokes

[AntiLover]

Scusate, qualcuno ha risolto numero 10 della scheda? Non riesco a scrivere omega e phi(u,v)

[GIMUSI]

Scusate, qualcuno ha risolto numero 10 della scheda? Non riesco a scrivere omega e phi(u,v)

se posti il testo posso darci un'occhiata

[AntiLover]

il campo è (x^2+y,x-z,0) mentre la superficie S= {x^2+y^2=1, 0<=z<=1}. gentilissimo come sempre! Grazie

[GIMUSI]

il campo è (x^2+y,x-z,0) mentre la superficie S= {x^2+y^2=1, 0<=z<=1}. gentilissimo come sempre! Grazie

allego lo svolgimento con i due metodi

- calcolo diretto in coordinate cilindriche

- mediante la divergenza (teorema di GG)

in entrambi i casi si vede facilmente che il flusso è nullo

[Massimo Gobbino]

in entrambi i casi si vede facilmente che il flusso è nullo

Con il teorema della divergenza si vede in effetti anche a mente. La divergenza è 2x, che integrata sul cilindro viene 0 per simmetria. Quindi il flusso uscente da tutto il cilindro è 0. Il flusso uscente (o anche entrante) dalle basi è 0 perché la normale è [tex](0,0,\pm 1)[/tex], e quindi ha prodotto scalare nullo con il campo che ha terza componente nulla. Quindi anche il flusso uscente (o entrante) dalla superficie laterale deve essere nullo.

Sicuramente questa sarà la seconda soluzione di GIMUSI. Per quanto riguarda la parametrizzazione di un cilindro, è fatta esplicitamente in una delle lezioni sugli integrali superficiali ...

[Gabe]

Avrei una domanda, mi capita a volte di avere delle espressioni di M1 M2 M3 "hard", tipo con radici etc... allora provo ad applicare GG in 3 dimensioni, però mi succede che non sempre riesco ad individuare bene la figura e quindi non posso vedere se ha eventuali "parti mancanti" (tipo l'esercizio della pentola con il coperchio),faccio un esempio:
se mi capita una supericie così definita [tex]S={z-y^2=1, x^2+y^2=1}[/tex], prendo come base la circonferenza di raggio 1 solo che poi non riesco a sviluppare la figura in "altezza" e quindi non mi rendo conto se e una superficie "incompleta", c'è qualche trucco per vederla al volo?

[Gabe]

Ho dei problemi con questi due esercizi: Calcolare il Flusso di E in S

[tex]1) E=(0,xy,xz),[/tex] [tex][S=(z^2+y, y, z), (y, z) \in[/tex] [tex]T=(y, z) : 0 \leq z \leq y \leq 1][/tex]

[tex]2) E=(x,xy,-xz), S=[z-y^2=1, x^2+y^2<=1][/tex]

[GIMUSI]

Ho dei problemi con questi due esercizi: Calcolare il Flusso di E in S

[tex]1) E=(0,xy,xz),[/tex] [tex][S=(z^2+y, y, z), (y, z) \in[/tex] [tex]T=(y, z) : 0 \leq z \leq y \leq 1][/tex]

[tex]2) E=(x,xy,-xz), S=[z-y^2=1, x^2+y^2<=1][/tex]

in questi casi credo sia conveniente il calcolo diretto del flusso

allego un possibile svolgimento dei due esercizi

[EDIT] su segnalazione di Filippo.ingrasciotta ho corretto lo svolgimento del primo esercizio

[Gabe]

Anche qui ho capito l'errore che commettevo! Grazie ancora!

[ghisi]

Ho dei problemi con questi due esercizi: Calcolare il Flusso di E in S

[tex]1) E=(0,xy,xz),[/tex] [tex][S=(z^2+y, y, z), (y, z) \in[/tex] [tex]T=(y, z) : 0 \leq z \leq y \leq 1][/tex]

[tex]2) E=(x,xy,-xz), S=[z-y^2=1, x^2+y^2<=1][/tex]

in questi casi credo sia conveniente il calcolo diretto del flusso

allego un possibile svolgimento dei due esercizi

Una piccola osservazione: Gabe non ha postato il testo completo: quando si chiede di calcolare un flusso si specifica anche quale deve essere la direzione della normale fra le due possibili e infatti in assenza di informazioni giustamente Gimusi ha svolto i due sercizi indicando quale normale prendeva. Fosse stata l'altra direzione cambiava il segno dell'integrale.