esercizio flusso attraverso una superficie

[Davide Fumagalli]

Salve a tutti, volevo chiedere chiarimenti su questo esercizio preso dal libro: ho provato a parametrizzare la superficie e ad applicare il teorema della divergenza e la definizione, ma, dopo averlo provato più volte, sono giunto a questo risultato e non capisco perchè ... probabilmente mi è sfuggito qualcosa ( inoltre volevo cogliere l'occasione per capire se il procedimento di questo esercizio fosse corretto )

[Massimo Gobbino]

La risposta giusta mi sembra \(\pi/12\).

Questo esercizio diventa interessante se uno lo risolve in almeno tre modi diversi:

• come integrale triplo "classico", una volta capito come è fatto l'insieme di integrazione (questo si può fare per righe o per colonne, portando i modi a 4),
• utilizzando Gauss-Green con un campo che ha solo la prima componente non nulla, come proposto nel post precedente,
• utilizzando Gauss-Green con un campo che ha la prima componente nulla.

Sarebbe però utile che anche altri contribuissero, e non toccasse sempre a me. Dove sono quelli che starebbero preparando l'esame? Non stupiamoci poi dei risultati ...

[Davide Fumagalli]

Sì professore, la risposta corretta è quella data da lei (ho controllato sulle soluzioni), però non capisco dove sia l'errore nel mio procedimento , perchè prima di tentare altri metodi volevo capire se avessi sbagliato qualcosa concettualmente o semplicemente un conto: infatti io e un mio collega ci siamo messi a ragionarci ma non ne veniamo a capo.

[Massimo Gobbino]

volevo capire se avessi sbagliato qualcosa concettualmente o semplicemente un conto

Sì, ci sono due errori concettuali e uno maschera l'altro (qui sono fumoso, ma non voglio rivelare tutto subito). Di fronte ad un esercizio del genere, di solito i correttori cercano due frasi, e se mancano la soluzione sarà giudicata molto parzialmente, indipendentemente dalla risposta corretta. Le parole magiche sono qualcosa del tipo

• il bordo dell'insieme è costituito da tot pezzi, così descritti ...
• l'orientazione corretta dei pezzi è la seguente ... perché ...

Se mancano quelle parole, qualcosa non va

Per capire queste cose è importante postare e discutere qui le proprie soluzioni, come sta facendo Davide.

[m.ridolfo]

Io l'ho risolto così, non so se ho sbagliato qualcosa nonostante il risultato sia coerente con le soluzioni.

[Davide Fumagalli]

A me sembra corretto (allego anche la mia soluzione dove ho parametrizzato la superficie, così si ha anche un altro metodo di risoluzione dello stesso esercizio), ma una domanda: ci sono 2 pezzi che non hanno flusso, cioè quelli rispettivamente con z=0 e y=0, io lì ho considerato come normali quelle uscenti per un eventuale utilizzo del teorema della divergenza, è giusto così? Se no qual è stato il tuo ragionamento Miriam? so che non cambia nulla dal punto di vista della soluzione, ma volevo capire questa cosa.

[ghisi]

Per quanto rigrarda l'orientazione dei tappi ha ragione Davide e non è vero che "non cambia nulla" quello che conta è il procedimento e se le orientazioni sono sbagliate lo sono a prescindere dal risultato.

Ci sono poi alcuni errori simili in entrambe le soluzioni: non mi è chiaro se il problema è solo nel modo di esprimersi o concettuale. I tappi sono delle superfici e non delle curve (Davide), se si vogliono descrivere i tappi mediante il loro bordo bisogna considerare tutto il bordo e non solo una parte (Miriam). Il mio consiglio è di disegnarli sempre separatamente.

[m.ridolfo]

Sisi professoressa, grazie mille. Poi con Davide ci siamo chiariti .