dubbio su stokes

[M.A.L]

Salve avevo un dubbio nella risoluzione dell'esercizio che allego, poiché nel momento in cui calcolo il gradiente della funzione che rappresenta la mia superficie dovrebbe darmi (2x,-4y^3z^2,-2zy^4+4z) e sostengo il punto (1,0,0)la normale che trovo dovrebbe essere opposta , però nella soluzione fatta in classe si consideravano i due tappi con le rispettive normali esterne e non capisco come la normale esterna calcolata prima possa aver influito sul nostro calcolo, grazie buon fine settimana

[GIMUSI]

Ciao, il gradiente della funzione allegata dovrebbe essere \((2x,2y+2yz^2,2z+2y^2z)\) e una normale in \((2,1,1)\) dovrebbe essere \((4,4,4)\).

Con questa informazione, sapendo che il rotore è \((2x-1)\hat k\), usando il teorema della divergenza si dovrebbe concludere con un integrale sul "tappo" a \(z=0\).

[ghisi]

Salve avevo un dubbio nella risoluzione dell'esercizio che allego, poiché nel momento in cui calcolo il gradiente della funzione che rappresenta la mia superficie dovrebbe darmi (2x,-4y^3z^2,-2zy^4+4z) e sostengo il punto (1,0,0)la normale che trovo dovrebbe essere opposta , però nella soluzione fatta in classe si consideravano i due tappi con le rispettive normali esterne e non capisco come la normale esterna calcolata prima possa aver influito sul nostro calcolo, grazie buon fine settimana

Sicuro di aver caricato l'esercizio a cui si riferisce il resto del post?

[M.A.L]

si, mi scusi, forse ho sbagliati a caricare il file, allora rimando il testo(adesso dovrebbe essere quello corretto)

[ghisi]

si, mi scusi, forse ho sbagliati a caricare il file, allora rimando il testo(adesso dovrebbe essere quello corretto)

Dato che \(\operatorname{div} F = 0\) puoi usare due metodi: Gauss-Green oppure Stokes via cambio di superficie (alla fine sono praticamente equivalenti, cambia solo il modo in cui devi gestire le normali). Dal tuo post non è chiarissimo quale vorresti usare.

In ogni caso la direzione della normale sulla tua superficie ti dice come è orientata la superficie stessa. Nel tuo caso \(S\) è la superficie laterale di una specie di cilindroide orientata con la normale "interna". Non serve a molto calcolare la normale su \(S\) usando il gradiente per lo svolgimento dell'esercizio. Devi capire più o meno come è fatta la superficie e come è orientata. Supponiamo ora che tu voglia usare la versione con Stokes con il cambio di superficie. Per essere coerente con la normale su \(S\) sul tappo con \(y = 0\) devi prendere la normale verso "il basso" (\((0,-1,0)\) per intenderci), mentre sul tappo con \(y = 1\) devi prendere la normale verso "l'alto".

[M.A.L]

Grazie mille e scusi ancora per l'equivoco

[Davide Fumagalli]

Scusi prof se apro nuovamente questo topic soltanto ora, ma mi sono accorto di avere ancora dei dubbi su come trovare la normale da usare con il teorema di Stokes. Per esempio questo esercizio l'ho provato a fare, però non capisco perché le normali alle basi di questa sorta di cilindro siano "esterne".
Non c'entra l'orientazione canonica del bordo che mi induce la normale ( che in questo caso viene entrante al cilindro ), giusto? Quindi è l'orientazione che è data dall'esercizio ad indurmi il verso della normale sulle 2 basi? Perché riguardo a quest'ultima domanda ci ho pensato tutta la serata e mi è venuto in mente "banalmente" l'utilizzo dell'omino che percorre il bordo da dentro ( data che il testo mi dice che è entrante, lasciando a sinistra la superficie) e così percorro il bordo in modo che la normale alle 2 basi sia uscente, però non sono sicuro...

[ghisi]

Non c'entra l'orientazione canonica del bordo che mi induce la normale ( che in questo caso viene entrante al cilindro ), giusto?

esatto

Quindi è l'orientazione che è data dall'esercizio ad indurmi il verso della normale sulle 2 basi? Perché riguardo a quest'ultima domanda ci ho pensato tutta la serata e mi è venuto in mente "banalmente" l'utilizzo dell'omino che percorre il bordo da dentro ( data che il testo mi dice che è entrante, lasciando a sinistra la superficie) e così percorro il bordo in modo che la normale alle 2 basi sia uscente, però non sono sicuro...

Si l'orientazione è quella data dal problema. Quale è l'orientazione delle due basi lo puoi vedere in tanti modi e anche il tuo va bene.

[Davide Fumagalli]

Grazie mille prof, mi ha risolto molti dubbi