Sistema di equazioni sui complessi

[Uncle]

Buonasera, invoco l'aiuto del forum per il seguente esercizio, tratto dalla scheda 7 dell'eserciziario.

\(\begin{cases}
zw^2=|z|^2|w| \\
w^2+3\bar z=4i
\end{cases}\)

Ho provato a ricavare w dalla seconda ma non riesco ad uscirne...

[GIMUSI]

manipolando un po' le equazioni dovresti arrivare a questa:

\(|w|^4+3|w|^3=4i \bar w^2\)

e da qui osservando che \(\bar w^2 \in \mathbb{C}\) con parte immaginaria negativa dovresti riuscire a trovare w e poi dalla prima equazione z

[Uncle]

Ok con manipolazioni su entrambe le eq. arrivo qua \(|w|^4+3|w|^3=4i\bar w^2\) come suggerito, vediamo ora che succede...
Quella somma a primo membro mi inquieta un po'

[Uncle]

Allora, ho provato invano a fare ulteriori manipolazioni cercando di sfruttare il secondo suggerimento proposto, dopodiché ho optato per la via esponenziale arrivando alle soluzioni di \(w=\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}i\) ,
\(w=-\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}i\) e poi \(w=0\) prodotto da \(\rho=0\).
Altre vie?

[GIMUSI]

bene! ovviamente devi trovare anche i corrispondenti valori di z e non trascurare il caso z=0

con l'esponenziale va benissimo lo stesso penso se non porta a calcoli troppo complicati

allego un possibile svolgimento alternativo, fammi sapere se è tutto chiaro

[Uncle]

Sì sì, chiarissimo! Ora capisco perché questa precisazione:

osservando che \(\bar w^2 \in \mathbb{C}\) con parte immaginaria negativa dovresti riuscire a trovare w e poi dalla prima equazione z

Insomma di carne al fuoco ce n'è parecchia in questo tipo di esercizi, manipolazioni varie, forme esponenziali, algebriche ecc. Anche i successivi esercizi della scheda sembrerebbero belli sostanziosi.
Ti ringrazio per l'aiuto

[Massimo Gobbino]

Altra soluzione. Prendendo i moduli nella prima equazione troviamo che

\(|z|\cdot|w|^2=|z|^2\cdot|w|\)

Da qui, con semplici passaggi precorsistici, ci riduciamo a tre casi, e cioè \(|z|=0\) oppure \(|w|=0\) oppure \(|z|=|w|\).

Ora nei primi due abbiamo praticamente finito. Nel restante caso, moltiplico la seconda equazione per \(z\) e ottengo che

\(zw^2+3z\overline{z}=4iz\)

e cioè, tenendo conto della prima equazione,

\(|z|^2\cdot|w|+3|z|^2=4iz\)

Ora il lhs è reale, dunque deve essere reale pure il rhs, dunque \(z=ai\) per un qualche numero reale \(a\). Ricordando che \(|z|=|w|\) troviamo l'equazione

\(|a|^3+3a^2=-4a\)

e direi che i giochi sono fatti!

@Uncle: ebbene sì, quella scheda di esercizi sui complessi contiene di tutto. Se uno risolve quelli, non ha problemi di nessun tipo.

[Uncle]

Salve Professore, essendo nuovo da queste parti, colgo l'occasione del suo intervento per farle i complimenti, ringraziarla del materiale che mette a disposizione e dell'ulteriore chiarimento dell'esercizio ovviamente.
In merito alla scheda sui complessi dico menomale che sia di un certo spessore, perché di esercizi in giro sui complessi se ne trovano pochi di un certo livello, almeno per quanto riguarda analisi 1.

[GIMUSI]

bene molto interessante anche questo metodo segnalato dal prof di mettere in modulo tutta l'equazione

in effetti sui complessi tra moduli, coniugi, etc. il divertimento nel risolvere le equazioni è assicurato