limite
Posted: Friday 16 August 2013, 10:10
Navigando ho trovato il seguente limite
[tex]\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{x\sin x\cos x}{1-(\cos x)^3}[/tex]
Nel testo trovato veniva risolto usando la ben nota identità
[tex]1-(\cos x)^3=(1-\cos x)(1+\cos x+(\cos x)^2)[/tex]
per mia scelta ho voluto risolverlo applicando una sostituzione di infinitesimi, spero correttamente,
[tex]\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{x\sin x\cos x}{1-(\cos x)^3}=\lim_{x\to 0}\frac{x^2\cos x}{1-(\cos x)^3}=\lim_{x\to 0}\frac{x^2(1-x^2/2)}{1-(1-x^2/2)^3}[/tex]
[tex]\displaystyle=\lim_{x\to 0}\frac{x^2(1-x^2/2)}{1-(1-3x^2/2)}=\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{(3/2)x^2}=2/3[/tex].
Resto in attesa di una risposta.
Saluti!
[tex]\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{x\sin x\cos x}{1-(\cos x)^3}[/tex]
Nel testo trovato veniva risolto usando la ben nota identità
[tex]1-(\cos x)^3=(1-\cos x)(1+\cos x+(\cos x)^2)[/tex]
per mia scelta ho voluto risolverlo applicando una sostituzione di infinitesimi, spero correttamente,
[tex]\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{x\sin x\cos x}{1-(\cos x)^3}=\lim_{x\to 0}\frac{x^2\cos x}{1-(\cos x)^3}=\lim_{x\to 0}\frac{x^2(1-x^2/2)}{1-(1-x^2/2)^3}[/tex]
[tex]\displaystyle=\lim_{x\to 0}\frac{x^2(1-x^2/2)}{1-(1-3x^2/2)}=\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{(3/2)x^2}=2/3[/tex].
Resto in attesa di una risposta.
Saluti!
