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Salve a tutti...

avrei bisogno di un indizio per cercare di risolvere il seguente limite di successione:

[tex]\dfrac{\log(n^2+2\sqrt{n})}{\log(n^3+3\sqrt[3]{n})}[/tex]

per adesso ho provato sia a raccogliere che a lavorare con ordini di infinitesimi e mi torna che la funzione tende a '0' ...
mentre dovrebbe tendere a 2/3 (i coefficienti delle radici) cosa dovrei fare???

leo23 wrote:Salve a tutti...

avrei bisogno di un indizio per cercare di risolvere il seguente limite di successione:

[tex]\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{\log(n^2+2\sqrt{n})}{\log(n^3+3\sqrt[3]{n})}[/tex]

per adesso ho provato sia a raccogliere che a lavorare con ordini di infinitesimi e mi torna che la funzione tende a '0' ...
mentre dovrebbe tendere a 2/3 (i coefficienti delle radici) cosa dovrei fare???

considera la successione [tex]\displaystyle n^2+2\sqrt{n} :[/tex] quando [tex]n\to +\infty[/tex] hai che [tex]n^2[/tex] va a [tex]+\infty[/tex] più velocemente di [tex]\sqrt{n}[/tex]; analogamente per la successione [tex]n^3+3\sqrt[3]{n})[/tex]

Allora

[tex]\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{\log(n^2+2\sqrt{n})}{\log(n^3+3\sqrt[3]{n})}\sim \displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{\log n^2 }{\log n^3 }=\displaystyle\frac{2}{3}\frac{\ln n}{\ln n}= \frac{2}{3}[/tex]

non ho proprio pensato...grazie mille!!!

Ovviamente poi la soluzione di Noisemaker, brutalmente corretta, andrebbe resa rigorosa con opportuni raccoglimenti.

Massimo Gobbino wrote:Ovviamente poi la soluzione di Noisemaker, brutalmente corretta, andrebbe resa rigorosa con opportuni raccoglimenti.

[tex]\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{\log(n^2+2\sqrt{n})}{\log(n^3+3\sqrt[3]{n})}=\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{\log\left[n^2\left(1+\frac{2\sqrt{n}}{n^2}\right)\right]}{\log\left[n^3\left(1+\frac{3\sqrt[3]{n}}{n^3}\right)\right]}=[/tex][tex]\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{\log n^2 }{\log n^3 }=\displaystyle\frac{2}{3}\frac{\ln n}{\ln n}= \frac{2}{3}[/tex]

ehm, nessuno protesta?

sono un pò fermo in analisi (dato che non frequento più), ma mi pare di ricordare che i limiti fatti a metà possono uscire giusti anche se il procedimento è sbagliato.. insomma, è un brutto vizio da non prendere...

l'intuizione è corretta?

Esatto, mai fare i limiti metà per volta! Il 90% delle volte va bene, ma nel restante 10% ...

Dopo aver messo in evidenza n quadro e n cubo sopra e sotto, e arrivo a questo punto, come si procede per arrivare alla ovvia conclusione senza applicare il limite metà per volta?

[tex]=\displaystyle\lim_{n\to \infty}\frac{\log(n^2(1+2n^(\frac{1}{2} - 2))}{\log(n^3(1+3n^(\frac{1}{3}-3)}=\displaystyle\lim_{n\to \infty}\frac{\log(n^2(1+\frac{2}{\sqrt{n^3}}))}{\log(n^3(1+\frac{3}{\sqrt[3]{n^8}}))}[/tex]

diciamo che non me la cavo col latex, quindi ti scrivo i passaggi che mi vengono in mente:

1) "logaritmo del prodotto = somma dei logaritmi"
2) " [tex]log(a^b) = b*log(a)[/tex]" (sto solo citando le proprietà dei logaritmi, e ho usato latex per la prima volta)..
3) raccogli [tex]log(n)[/tex]

dovresti ottenere qualcosa del tipo (mi sono arreso col latex):

log(n) * ( 2 + log("quella roba")/log(n) )
-----------------------------------------------
log(n) * (3 + log("altra roba")/log(n) )

da qui puoi scegliere se semplificare log(n) oppure puoi separare la frazione:

log(n) ( 2 + log("quella roba")/log(n) )
------- * ------------------------------------
log(n) ( 3 + log("altra roba")/log(n) )

e utilizzare la regola "limite di un prodotto = prodotto di limiti"..
spero di averti dato almeno l'idea...