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Ho problemi con il seguente limite :

[tex]\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{(1+\sin x)^{1/3} + (1-\sin x)^{1/3} - 2}{1-\cos(\arctan x)}[/tex]

Chiedo scusa per la brutta scrittura del limite e per il fatto che molto probabilmente sarà di facile risoluzione; tuttavia, non riesco a capire cosa sbaglio nell'applicare gli sviluppi di Taylor. Ho provato con diversi n.
Grazie a tutti per l'aiuto.

[EDIT: ho aggiustato la scrittura (Massimo Gobbino)]

eneasuppemogi wrote:Ho problemi con il seguente limite :

[tex]\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{(1+\sin x)^{1/3} + (1-\sin x)^{1/3} - 2}{1-\cos(\arctan x)}[/tex]

Chiedo scusa per la brutta scrittura del limite e per il fatto che molto probabilmente sarà di facile risoluzione; tuttavia, non riesco a capire cosa sbaglio nell'applicare gli sviluppi di Taylor. Ho provato con diversi n.
Grazie a tutti per l'aiuto.

anzitutto ricorda lo sviluppo

[tex]\displaystyle(1+x)^{\beta}=1+\beta x+\frac{\beta(\beta-1)}{2} x^2+o(x^2)[/tex]


[tex]\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{(1+\sin x)^{1/3} + (1-\sin x)^{1/3} - 2}{1-\cos(\arctan x)}\sim[/tex] [tex]\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{(1+ x)^{1/3} + (1- x)^{1/3} - 2}{1-\cos x }[/tex]

[tex]\stackrel{\bf{T}}{=}[/tex][tex]\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{1+\frac{1}{3} x+\frac{\frac{1}{3}(\frac{1}{3}-1)}{2} x^2+o(x^2) + 1-\frac{1}{3} x+\frac{\frac{1}{3}(\frac{1}{3}-1)}{2} x^2+o(x^2) - 2}{\frac{1}{2}x^2 }=[/tex]

[tex]\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{-\frac{1}{9} x^2-\frac{1}{9} x^2 }{\frac{1}{2}x^2 } =[/tex] [tex]\displaystyle-\frac{4}{9}[/tex]

Sostanzialmente corretto, ma mooolto brutale nella sostituzione di sin x e arctan x con x. Ad essere rigorosi bisognava mettere entrambe le volte un [tex]o(x^2)[/tex] (e [tex]o(x)[/tex] non sarebbe bastato).

Per capire che la cosa è essenziale, invito a riflettere su cosa sarebbe successo se nei due termini al numeratore ci fosse stato [tex]\log(1+x)[/tex] invece di [tex]\sin x[/tex].

Massimo Gobbino wrote:Sostanzialmente corretto, ma mooolto brutale nella sostituzione di sin x e arctan x con x. Ad essere rigorosi bisognava mettere entrambe le volte un [tex]o(x^2)[/tex] (e [tex]o(x)[/tex] non sarebbe bastato).

Per capire che la cosa è essenziale, invito a riflettere su cosa sarebbe successo se nei due termini al numeratore ci fosse stato [tex]\log(1+x)[/tex] invece di [tex]\sin x[/tex].

[tex]\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{(1+\log(1+x))^{1/3} + (1-\log(1+x))^{1/3} - 2}{1-\cos(\arctan x)}[/tex]

quando [tex]x\to 0,[/tex]

- [tex]\sin x\sim x[/tex]

- [tex]\log(1+x)\sim x[/tex]

- [tex]\arctan x\sim x[/tex]

e quindi ci si sarebbe poi ridotti in ogni caso a considerare il limite

[tex]\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{(1+ x)^{1/3} + (1- x)^{1/3} - 2}{1-\cos x }[/tex]

è qui gli [tex]o(x^2)[/tex] ci informano dove fermarci con lo sviluppo; in realtà con le stime asintotiche, cioè con gli sviluppi al primo ordine, non abbiamo fatto altro che semplificare il limite, non l'abbiamo risolto, cioè non abbiamo fatto calcoli potenzialmente pericolosi! è da qui che i perocoli iniziano

Se ci fosse stato [tex]\displaystyle \log (1+x)[/tex] sarebbero saltati fuori termini in [tex]\displaystyle x^2[/tex] già nello sviluppo del logaritmo, dato che la battaglia è sull'ordine 2.
Quando si sceglie un ordine, quello va utilizzato ad ogni livello di annidamento di funzioni.

CoTareg wrote:Se ci fosse stato [tex]\displaystyle \log (1+x)[/tex] sarebbero saltati fuori termini in [tex]\displaystyle x^2[/tex] già nello sviluppo del logaritmo, dato che la battaglia è sull'ordine 2.
Quando si sceglie un ordine, quello va utilizzato ad ogni livello di annidamento di funzioni.

Parole fondamentali quelle di CoTareg

Occhio alla differenza tra i seguenti due esempi:

[tex]\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{(1+\log(1+x))^{1/3} + (1+\log(1-x))^{1/3} - 2}{1-\cos(\arctan x)}[/tex]

[tex]\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{(1+\sin x)^{1/3} + (1-\sin x)^{1/3} - 2}{1-\cos(\arctan x)}[/tex]

P.S. Ma dove sono quelli che stanno seguendo il corso di quest'anno?

Massimo Gobbino wrote:

CoTareg wrote:Se ci fosse stato [tex]\displaystyle \log (1+x)[/tex] sarebbero saltati fuori termini in [tex]\displaystyle x^2[/tex] già nello sviluppo del logaritmo, dato che la battaglia è sull'ordine 2.
Quando si sceglie un ordine, quello va utilizzato ad ogni livello di annidamento di funzioni.

Parole fondamentali quelle di CoTareg

Occhio alla differenza tra i seguenti due esempi:

[tex]\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{(1+\log(1+x))^{1/3} + (1+\log(1-x))^{1/3} - 2}{1-\cos(\arctan x)}[/tex]

[tex]\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{(1+\sin x)^{1/3} + (1-\sin x)^{1/3} - 2}{1-\cos(\arctan x)}[/tex]

P.S. Ma dove sono quelli che stanno seguendo il corso di quest'anno?

A malincuore Professore, sono uno studente del corso di quest'anno accademico.
La ringrazio per la gentilezza e la disponibilità dimostrata verso noi tutti, sopratutto verso le matricole!

Grazie, però mi aspetterei più attività su questo forum. Non è credibile che nessuno abbia degli esercizi che non vengono ... Certo la cosa mi costringerebbe a lavorare di più, perché comunque dovrei controllare i post ed eventualmente aggiungere spiegazioni a quelle "autogestite", ma sarebbe un lavoro utile e che soprattutto non andrebbe sprecato per il futuro.

L'obiezione classica è che alcuni (o molti?) sono timidi e si vergognano ad intervenire. Anche la risposta però è classica: meglio rischiare di scrivere stupidaggini qui dove volendo nessuno sa associare un nick ad un volto (a meno di non metterlo nell'avatar ...), oppure scriverle tra qualche mese in un foglio con nome e cognome, magari presentandosi all'esame infinite volte (e qui astenersi da eventuali gestacci )?