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Potreste aiutarmi con questo limite?
lim[sen(logx+3)/log(senx+3)]
x->+infinito

marty92 wrote:Potreste aiutarmi con questo limite?
lim[sen(logx+3)/log(senx+3)]
x->+infinito

Allora, sappiamo che:

1. -1 < sin(x) < 1 ( ho messo minore, ma e' minore-uguale)
2. lim per x->+00 di sin(x) non esiste

Indi, lavorando sul denominatore osserviamo che l'argomento del logaritmo non assume mai il valore dell'unità, ne consegue che il denominatore non si annulla mai (e se me lo permetti... aggiungerei: "Che Culo...", lavoro in meno..)
Ricordando il primo punto della lista possiamo dire che:

log( sin(x) + 3 ) < log ( 5 )
log( sin(x) + 3 ) > log ( 1.5 )

Ne consegue che:

lim[x->+00] di sin(logx+3)/log(sinx+3) > lim[x->+00] di sin(logx+3)/log(5)

lim[x->+00] di sin(logx+3)/log(sinx+3) < lim[x->+00] di sin(logx+3)/log(1.5)

Nota:
D'ora in avanti, per evitare di dover isolvere i due limiti separatamente, utilizzero log(B) per indicare il denominatore

a questo punto:

• Ufficiosamente:
  abbiamo una costante per il seno di qualcosa che va a +inf, pertanto il limite non esiste... (e non e' orretto dare questa giustificazione... ma e' il metodo ufficioso xD)
• Burocraticamente:
  Pongo ((pi.greco)/2) * t=log(x)+3, questo implica che per x->+00 anche t->+00
  
  Utilizzo il criterio funzioni -> successionii e mi ritrovo il limite:
  
  a_n = sin( ((pi.greco)/2) *n)/log(B) [per n->+00]
  
  A questo punto mi costruisco due sottosuccessioni:
  • b_n = sin(pi.greco *n)/log(B) t.c. n= 2*k con k Intero
  • c_n = sin(pi.greco *n)/log(B) t.c. n= 4*k + 1 con k Intero
  Osserco che:
  • Nel Caso b_n: sin(pi.greco *2*k ) = 0 per ogni k, pertanto la successione b_n tente a 0;
  • Nel Caso c_n: sin(pi.greco *(4*k + 1) ) = 1 per ogni k, pertanto la successione c_n tente a 1/log(B);
  Indi, risalendo la catena:
  1. La successione ammette due differenti sottosuccessioni che tendono a un limite diverso, questo comporta che la successione originario non ha limite;
  2. utilizzando il criterio successioni funzioni, anche la funzione sin(t)/log(B) non ammette limite per t->+00
  3. ricordanto che ((pi.greco)/2) * t=log(x)+3, usiamo il teorema dei carabinieri per dire che:
     
     sin(logx+3)/log(5) < sin(logx+3)/log(sinx+3) < sin(logx+3)/log(1.5
     
     Pertanto, essendo la nostra funzione sempre compresa fra due funzioni che non ammettono limite, anche la nostra funzioe non ammette limite

waaaaaaaaaa che fatica... spero di non aver tralasciato nulla O.o' odio fare limiti che non esistono xD