Allora, come prima cosa costatiamo che il denominatore non ha problemi, oggero per x che tende a zero ( da destra o da sinistra), il denominatore non si annulla, pertanto siamo a cavallo.
Avendo il denominatore "
mobile" ma limitato, ci avviliamo del teorema dei carabinieri, trovano due denominatori tali che:
sin( log(x) + 3 ) / M < sin( log(x) + 3 ) / (x+3) < sin( log(x) + 3 ) / N
Indi dovremmo trovare questi due numeri (2 e 5 per esempio), ma razionalmente poco importa... sappiamo che esistono, e quindi ci accontentiamo di chiamarli M ed N.
Proseguendo dovremmo risolvere i due limiti ai lati, ovvero i nostri carabinieri, ma essendo due limiti topologicamente identici che differiscono solo per un fattore moltilicativo, ne risolviamo solo uno, ovvero:
K * sin( log(x) + 3) (poi K lo poniamo pari a 1/M o a 1/N)
Giunti fino qui, osserviamo che ci troviamo davanti a un seno che ha l'argomento che diverge, e siccome a noi i limiti che non sono notevoli non ci piacciono, poniamo:
-t = log(x) + 3
In questo moto per x che tende a 0+ abbiamo che t tende a piu' infinito;
Riscriviamo usando la sostituzione e otteniamo che:
K * sin(-t) = -K * sin(t)
con t che tende a piu' infinito.
ora, a meno del fattore K, sappiamo che il limite di sin(t) per t che dente a piu' infinito non esiste ( questo perhe' fa parte dei limiti notevoli, e si dimostra passando attraverso il criterio funzioni successioni, e creando due sottosuccessioni che fanno tendere il limite a due valori diversi, come ho fatto qui:
http://forum.dma.unipi.it/Studenti/viewtopic.php?t=761 )
Indi sappiamo che
-K * sin(t)
con t che tende a piu' infinito non esiste;
Da qui risaliamo la catena e affermiamo che i limite K * sin( log(x) + 3) non esiste, pertanto non esistono anche i nostri limiti carabinieri.
In fine, struttando il teorema dei carabinieri, otteniamo che il nostro limite originario non esiste =)
see you
, quindi non ricordo come fare la dimostrazione rigorosa. fortunatamente ci son le videolezioni 
).