limiti 11: esercizio 7, prima colonna.

[bech]

salve a tutti, potreste dammi qualche dritta su come impostare l'esercizio?
lim x->0 {tan [(arccosx)/2}^1/x
grazie in anticipo.

[Ifrit_Prog]

salve a tutti, potreste dammi qualche dritta su come impostare l'esercizio?
lim x->0 {tan [(arccosx)/2}^1/x
grazie in anticipo.

Dopo tanto sudore ci sono riuscito O.o'' e un limite bruttissimo...
Io ho usato "e alla" per risolverlo, ma dopo un po ho dovuto inventarmi un "trucco" per far si che tutto funzioni....

Appena hai placato i tuoi dubbi posto la mia soluzione, magari il prof puo' darmi una dritta su come risolvere il limite senza usare il giro assurdo che ho fatto O.o''

[Ifrit_Prog]

Scusate il doppio post =( ma ho scansionato solo ora :X

Ecco qui:


Spero che il prof mi illumini tanto gia' so che e' tutta colpa della mia carenza sulla trigonometria =(

[bech]

in effetti sei riuscito a risolverlo con una "genialata" che difficilmente mi sarebbe venuta in mente! spero ci sia anche un altro metodo risolutivo più semplice altrimenti è davvero impossibile questo limite!! in ogni caso ho capito i tuoi passaggi..grazie mille per la disponibilità e la chiarezza!!

[Massimo Gobbino]

Un approccio alternativo a questo limite può essere di usare sviluppi di Taylor in punti "non canonici" (e bastano di ordine 1 perché al denominatore c'è solo x). Questi ovviamente vanno calcolati con la formula per i polinomi di Taylor in funzione delle derivate nel punto in cui si sviluppa.

Si inizia quindi sviluppando arccos in 0:

arccos x = pi/2 -x +o(x)

a questo punto

tan [(arccos x)/2] = tan [pi/4 -x/2 +o(x)]

e quindi bisogna usare lo sviluppo di tan in pi/4

tan(pi/4 +y) = 1 +2y +o(y)

Sostituendo ad y quello che deve essere il limite è praticamente venuto.

Per una soluzione più "precorsistica" si può partire dalla relazione

arccos x = pi/2 - arcsin x

poi usare le formule di addizione della tangente ed infine i limiti notevoli.