Forum Studenti

Salve a tutti,
spero che qualcuno mi possa aiutare...ho un problema su questo limite:

ho provato a razionalizzare e sviluppare il coseno ma non viene come dovrebbe (-4/9)...
grazie a tutti anticipatamente!

ho il tuo stesso problema.. nelle soluzioni c'è scritto -4/9 ma mi viene -8/9..

ti posto il mio procedimento che potrebbe esserti d'aiuto (cosi magari potresti trovare l'errore che non riesco a trovare )

innanzitutto faccio gli sviluppi con n=2 (cosi al den rimane almeno "x^2")

1) sviluppo le radici (ho scartato la razionalizzazione, dato che ci pensa taylor) e ottengo (se non ho fatto errori)

(1 + x) ^ [1/3] = 1 + (1/3)*x - (2/9)*x^2 + opiccolo(x^2)

e poi (questa è la parte su cui ho qualche dubbio sul risultato)

(1 - x) ^ [1/3] questo l'ho fatto calcolando le derivate (se c'è un metodo più veloce usando lo sviluppo di (1 + x)^"alfa" sicuramente non l'ho usato), e mi è venuto:

= 1 - (1/3)*x - (2/9)*x^2 + opiccolo(x^2)

lo sviluppo del coseno c'è già (eventualmente è nei pdf)

ora sostituisco tutto (spero si capisa, altrimenti "linko" un immagine)

2)
ps. i puntini mi servono affinche il sito non mi levi gli spazi, cosi la frazione rimane ordinata, inoltre metto l'opiccolo alla fine

....... 1 + (1/3)*x - (2/9)*x^2 + 1 - (1/3)*x - (2/9)*x^2 - 2 + opiccolo(x^2)
lim----------------------------------------------------------------------------------
x->0...1 - 1 + (1/2)*x^2 + opiccolo(x^2)

vanno via:
1) gli "uni" con il -2
2) + (1/3)*x con -(1/3)*x
3) al denominatore va via 1 con -1

rimane

....... - (2/9)*x^2 - (2/9)*x^2 + opiccolo(x^2)
lim---------------------------------------------------------
x->0.........(1/2)*x^2 + opiccolo(x^2)

-(2/9) - (2/9) fa -(4/9) (non vedo perchè non dovrebbe)

poi raccolgo le x^2

....... x^2*[-(4/9) + opiccolo(x^2)/x^2]
lim-------------------------------------------------------
x->0.........x^2*[(1/2) + opiccolo(x^2)/x^2]

1) si semplifica x^2 al num con x^2 al den
2) opiccolo(x^2) / x^2 tende a 0 per x->0

mi rimane -(4/9) / (1/2) e ottengo -(8/9)

ma la soluzione è un altra... se c'è un errore allora vi scongiuro: ditemelo!! così è un problema in meno che mi rimane in testa

edit: ps: forse il "trucchettino" per (1 - x)^"alfa" era quello di mettere y=-x ma l'ho scoperto ora... meglio tardi che mai (7 giorni!!!)

scusa ma il fattoriale degli sviluppi delle radici li hai considerati?

ma...il mio problema sono sempre le radici! quando le sviluppo mi rimane sempre 1+1-2 e quindi il numeratore va a farsi benedire!!

sono un po' sbagliati gli sviluppini appunto. Provate a rifarli, vengono

1 + x/3 -(x^2)/9 + o(x2)
1 - x/3 - (x^2)/9 + o(x2)
e il coseno 1- (x2)/2 + o(x2)

poi facendo i calcoli viene -4/9

great_anthony wrote:scusa ma il fattoriale degli sviluppi delle radici li hai considerati?

ecco, l'ho anche detto

dakron9 wrote:(cosi magari potresti trovare l'errore che non riesco a trovare )

ahahahah la mancanza di attenzione gioca brutti scherzi

comunque le radici le devi sviluppare con n=2, altrimenti va via tutto, sia "1 + 1 -2" che "(1/3)x - (1/3x)"

grazie a great_anthony e a Blacks!!!

ps: Blacks, il denominatore era 1 - cos(x), quindi ho direttamente sostituito lo sviluppo e - x^2/2 diventa +x^2/2...

Scusate, ma perchè lo sviluppo (1-x)^(1/3) vi da -(x^2)/9??? non diventa positivo essendoci il "-x" sotto radice?

quando fai lo sviluppo di (1 + y)^1/3 hai, in generale,

1 + (1/3)y + (1/3)*((1/3) - 1)*(y^2) / 2

= 1 + y/3 + (1/3)*(-2/3)*(y^2)/2

= 1 + y/3 - (2/18 )*(y^2)

= 1 + y/3 - (1/9)*(y^2)

ovviamente mi sono fermato a n=2 e ometto l'o piccolo per scrivere di meno

quando vai a sostituire y = -x ottieni:

= 1 -x/3 -(1/9)* ((-x)^2) = 1 -x/3 -(1/9)*(x^2)

quando fai (-x)^2 ottieni + x^2, e quindi il segno negativo di (1/9) rimane negativo...

è solo questione di piccoli dettagli che a volte (purtroppo) sfuggono

Già, questi segni ci porteranno alla distruzione se non stiamo attenti XD