LIMITI 8 esercizio 6 prima colonna

[NelloGiovane]

Ciao a tutti ragazzi, sono nuovo...

Ho bisogno di aiuto per questo limite...
Non scherzo dicendo che è da un giorno che provo a farlo.

Il limite è il seguente
(2-cos(1/(n+n^2)))^n^4


Ho provato a fare E-ALLA, a sostituire y= 1/n, ma arrivo mi blocco sempre.

Grazie in anticipo a tutti.
Un Saluto

[CoTareg]

Dunque, per prima cosa fai E-ALLA, poi considera il 2 come 1+1 e componi il limite notevole con il coseno. A questo punto hai log(1+qualcosa che va a zero), cioè un altro limite notevole. Al denominatore metti in evidenza n^4 e lo semplifichi con l'n^4 iniziale.
Usando Taylor invece che i limiti notevoli si fa anche prima...

[catarsiaffa]

Come l'avresti applicato Taylor?

[CoTareg]

Arrivato ad avere log( 1 + "roba tendente a zero" ), chiami la "roba tendente a zero" = x (è circa 1/n^4) e dici semplicemente che log (...) = "roba tendente a zero" + o( "roba..." ).

[catarsiaffa]

Chiarissimo!!!:)

Ci sono ancora 3 limiti che mi mettono un po' in difficoltà, vedo se riesco a risolverli, altrimenti te li posto...

[Noisemaker]

Ciao a tutti ragazzi, sono nuovo...

Ho bisogno di aiuto per questo limite...
Non scherzo dicendo che è da un giorno che provo a farlo.

Il limite è il seguente

[tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left[2-\cos\left(\frac{1}{n+n^2}\right)\right]^{n^4}[/tex]


Ho provato a fare E-ALLA, a sostituire y= 1/n, ma arrivo mi blocco sempre.

Grazie in anticipo a tutti.
Un Saluto

Fare ""E-ALLA "" non è necessario ...

[tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left[2-\cos\left(\frac{1}{n+n^2}\right)\right]^{n^4}\sim \lim_{n \to +\infty} \left[2-\cos\left(\frac{1}{n^2}\right)\right]^{n^4}[/tex] [tex]\displaystyle= \lim_{n \to +\infty} \left[2-1+1-\cos\left(\frac{1}{n^2}\right)\right]^{n^4}[/tex] [tex]\displaystyle= \lim_{n \to +\infty} \left(1+ \frac{1}{2n^4} \right)^{n^4}[/tex]

[tex]\displaystyle= \lim_{n \to +\infty} \left(1+ \frac{1}{2n^4} \right)^{2n^4\cdot\frac{1}{2}}=\sqrt e[/tex]

[Massimo Gobbino]

Brutalmente è corretto, ma formalmente ci sono il primo passaggio con un "circa" e l'ultima uguaglianza della prima riga (quella in cui sostituisci il coseno con il suo sviluppino) che andrebbero giustificati.

La giustificazione richiede(rebbe) o di fare un "e-alla" generale ed un po' di limiti notevoli, oppure un "e-alla" generale ed un po' di sviluppini con relativi o piccolo (ma in fondo limiti notevoli = sviluppini).

[Noisemaker]

Brutalmente è corretto, ma formalmente ci sono il primo passaggio con un "circa" e l'ultima uguaglianza della prima riga (quella in cui sostituisci il coseno con il suo sviluppino) che andrebbero giustificati.

La giustificazione richiede(rebbe) o di fare un "e-alla" generale ed un po' di limiti notevoli, oppure un "e-alla" generale ed un po' di sviluppini con relativi o piccolo (ma in fondo limiti notevoli = sviluppini).

Cosi potrebbe essere?

[tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left[2-\cos\left(\frac{1}{n+n^2}\right)\right]^{n^4}\sim \lim_{n \to +\infty} \left[2-\cos\left(\frac{1}{n^2}\right)\right]^{n^4}[/tex]

questo perchè la successione, quando [tex],\quad n\to+\infty,\quad[/tex] [tex]\displaystyle\frac{1}{n+n^2}\sim\frac{1}{ n^2}\quad \Rightarrow\quad \cos\left(\frac{1}{n+n^2}\right)\sim\cos\left(\frac{1}{n^2}\right)[/tex]

e dunque

[tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left[2-\cos\left(\frac{1}{n+n^2}\right)\right]^{n^4}\sim \lim_{n \to +\infty} \left[2-\cos\left(\frac{1}{n^2}\right)\right]^{n^4}[/tex]

a questo punto, essendo

[tex]\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left[1+1-\cos\left(\frac{1}{n^2}\right)\right]^{n^4}=[/tex] [tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left[1+\frac{1-\cos\left(\frac{1}{n^2}\right)}{\left(\frac{1}{n^2}\right)^2}\cdot \left(\frac{1}{n^2}\right)^2\right]^{n^4}[/tex]

e osservando che [tex]\displaystyle\frac{1}{n^2}\to 0,\quad n\to+\infty,\quad \Rightarrow \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{1-\cos\left(\frac{1}{n^2}\right)}{\left(\frac{1}{n^2}\right)^2}=\frac{1}{2}[/tex]

si ha

[tex]\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left[1+\frac{1-\cos\left(\frac{1}{n^2}\right)}{\frac{1}{n^4}}\cdot \frac{1}{n^4}\right]^{n^4} = \lim_{n \to +\infty} \left[1+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n^4}\right]^{n^4}=[/tex] [tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left[1+\ \frac{1}{2n^4}\right]^{n^4}=[/tex] [tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left[1+\ \frac{1}{2n^4}\right]^{2n^4\cdot\frac{1}{2}}=\sqrt e[/tex]

[Massimo Gobbino]

E' tutto pieno di limiti fatti metà per volta ... procedura (che funziona spesso ma proprio per questo) estremamente pericolosa ... tra un'ora inizio una lezione in cui illustro cosa può succedere procedendo in quel modo!