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Ciao a tutti.. ho un problema con questo limite col quale non riesco a venirne a capo:

lim (cosx)^(1/senx)
x->o


Ho provato con il metodo 'base strana elevata ad esponente strano, trosfarmare e^' ma non riesco ad arrivare al risultato giusto..

Avete fatto gli "sviluppini" o meglio ancora gli sviluppi di taylor completi??

se fai e^log(cosx)^1/senx poi fai il limite log(cosx)^1/senx
x tende 0

e trasformi quello in (x/senx)[log (cosx-1)+1/(cosx-1)][(cosx-1)/x](x)

se fai i limiti notevoli...questo tende a 0 quindi lim e^0=1


Io invece chiedo è giusto fare taylor in questo modo:
facendo cosx= 1+o(x) visto che non esce una forma indeterminata...

Non è corretto perchè lo "sviluppino" di cosx è
1-X^2/2+o(x)
fatto con gli sviluppi il limite (levo brutalmente gli o(x) per semplicità di scrittura..VOI NON LO FATE!!) viene:

e^log(1-x^2/2)^1/x ..mi focalizzo sull'exp.. l

log(1-x^2/2)/x ..da cui tramite "trucco contabile" ottengo..

log(1-x^2/2)*-x/2/-x^2/2

in cui la parte in grassetto è un limite notevole e il termine restante va a 0..e^0 fa 1...

uhmmm...non sarebbe piu' semplice così?
sen(x)=x
cos(x)=1

quindi verrebbe: 1^(1/x)
ora quando x->0 si ha che 1/x->oo quindi
1^1/x=1

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RLM

Andrea89 wrote:uhmmm...non sarebbe piu' semplice così?

il cos in 0 vale1, il sin in 0 vale 0...dunque rimarrebbe 1^(1/0)...però lo zero non è ne 0+ ne 0-, e nn si può dire che quello sia 1^(+00)o1^(-00)...però 1 a qualsiasi cosa sia elevato da 1, quindi a regola il lim dovrebbe dare 1...no?????

selly wrote:però 1 a qualsiasi cosa sia elevato da 1, quindi a regola il lim dovrebbe dare 1...no?????

quello non è 1, bensì tende a 1, quindi è una forma indeterminata.

base ed esponente strano...

Ti verrebbe :
e^[log(cos x)]/sin x per x->0.
ora studi l'esponente: è della forma [0/0] quindi puoi applicare Hopital.
Ti viene:
e^[-sinx/cosx]/cosx=
e^(-sinx/cosx)(1/cosx)=
limite notevole del seno=
e^(-sinx/x)(x/cosx)(1/cosx)=
per x->0=
e^0=1