Successione di funzioni

[Federico.M]

Salve, sto svolgendo gli esercizi riguardo le successioni di funzioni dell'eserciziario di Analisi Matematica 2 e mi sono imbattuto nel seguente problema.
L'esercizio fornisce la serie di funzioni
\(f_n(x)=\arctan(nx)\)
ed i seguenti tre insiemi
\(B_1=\bigl\{x\in R\,\colon 0\le x\le2\bigr\}\qquad B_2=\bigl\{x\in R\,\colon x\ge 2\bigr\}\qquad C=\bigl\{x\in R\,\colon -2\le x\le 3\bigr\}\)
Si chiede di :
1) calcolare l'insieme \(A\) degli \(x\in R\) per cui la successione converge puntualmente.
2) determinare se la successione converge uniformemente sui due insiemi dati \(B_1\) e \(B_2\).
3) determinare se l'integrale del limite è il limite degli integrali ( talvolta impropri ) sul terzo insieme dato \(C\).

Io ho svolto l'esercizio in questo modo:
Essendo
\(\displaystyle f(x)=\lim_{n\to +\infty}f_n(x)=\begin{cases}
\frac{\pi}{2}\quad\text{ per } x>0\\
0\quad \text{ per } x=0\\
-\frac{\pi}{2}\quad\text{ per } x<0
\end{cases}\)
la successione di funzioni data converge puntualmente sull'insieme \(A=\bigl\{x\in R\bigr\}\)

Essendo \(f_n(x)\) continua su \(B_1\) ed essendo \(f(x)=\lim_{n\to +\infty}f_n(x)\) non continua sullo stesso insieme, segue che non può esservi convergenza uniforme su \(B_1\).
Per l'insieme \(B_2\) invece, abbiamo che

\(
\begin{split}
\lim_{n\to +\infty}\sup\bigl\{\lvert{f_n(x)-f(x)}\rvert\,\colon x\ge 2\bigr\} &=\lim_{n\to +\infty}\sup\bigl\{\bigl\vert{\arctan(nx)-\frac{\pi}{2}}\bigr\vert\,\colon x\ge 2\bigr\}=\lim_{n\to +\infty}\sup\bigl\{\bigl\vert\arctan(\frac{1}{nx})\bigr\vert\,\colon x\ge 2\bigr\}\\
&=\lim_{n\to +\infty}\arctan(\frac{1}{2n})=0
\end{split}
\)

Dunque, abbiamo convergenza uniforme sull'insieme \(B_2\).

Per quanto riguarda il terzo quesito, non si può applicare il teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale perché, per un discorso analogo all'insieme \(B_1\), sul compatto \(C\) non vi è convergenza uniforme.
Tuttavia, calcolando l'integrale della funzione limite

\(\displaystyle\int_{-2}^0-\frac{\pi}{2}\,dx+\int_0^3\frac{\pi}{2}\,dx=-\pi+\frac{3\pi}{2}=\frac{\pi}{2}\)

e calcolando il limite degli integrali
\(
\begin{split}
\lim_{n\to +\infty}\int_{-2}^3\arctan(nx)\,dx &=\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n}\int_{-2n}^{3n}\arctan(t)\,dt=\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}\Bigl[t\arctan(t)-\int\frac{t}{1+t^2}\,dt\Bigr]_{-2n}^{3n}\\
&=\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n}\Bigl[3n\arctan(3n)+2n\arctan(-2n)-\frac{1}{2}\log\Bigl(\frac{1+9n^2}{1+4n^2}\Bigr)\Bigr]=\frac{\pi}{2}
\end{split}
\)

vediamo che, anche in assenza di convergenza uniforme, a meno di errori concettuali e di calcolo, essi coincidono.
In conclusione, dunque, si può affermare che il teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale esprime solo una condizione sufficiente affinché l'integrale del limite sia uguale al limite degli integrali.

A questo punto, mi farebbe piacere se qualcuno desse un'occhiata a questo post e mi dicesse se è stato svolto correttamente e se vi sia un modo alternativo per giungere alla soluzione dell'esercizio.
Grazie..

[Massimo Gobbino]

Non ho controllato tutti i calcoli, ma i procedimenti mi sembrano corretti. Faccio solo due osservazioni su possibili varianti, che si adattano ad un maggior numero di situazioni.

Quando si studia la convergenza uniforme, si può osservare che

\(\sup\left\{\left|\arctan(nx)-\dfrac{\pi}{2}\right|:x\geq 2\right\}=\dfrac{\pi}{2}-\arctan(2n)\),

da cui la conclusione senza tirare in ballo la formula che lega arctan(x) e arctan(1/x).

Nell'ultimo punto, quello sulla convergenza degli integrali, conviene spezzare l'integrale in \([-2,3]\) come somma di tre integrali in \([-2,-\varepsilon]\), \([-\varepsilon,\varepsilon]\) e \([\varepsilon,3]\). Ora sul primo e l'ultimo si ha convergenza uniforme, quindi passaggio al limite gratis, mentre il centrale è piccolo se \(\varepsilon\) è piccolo, dal momento che tutte le integrande sono equilimitate. Lascio ai lettori la sistemazione precisa dei dettagli.

Questo procedimento funziona tutte le volte che si ha a che fare con una convergenza di questo tipo, cioè funzioni equilimitate che convergono uniformemente su tutti i compatti che evitano un numero finito di punti (intorno ai quali si possono scavare dei buchi piccoli a piacere). In questo modo non occorre calcolare gli integrali.

[Federico.M]

Buonasera professore, grazie per i suggerimenti necessari per uno svolgimento alternativo dell'esercizio. A questo proposito, volevo chiederle se il teorema di Ascoli-Arzelà rientra in qualche modo nella risoluzione, dal momento che, nel cercare la definizione di funzioni equilimitate, esso compare quasi sempre.

Definizione : una successione di funzioni \(f_n\) definite su un insieme \(E\) si dice equilimitata su E se le funzioni \(f_n\) sono limitate dalla stessa costante, cioè
\(\exists M\,\colon\forall n,\,\forall x \in E\quad\lvert f_n(x)\rvert\le M\)

Definizione : una successione di funzioni \(f_n\) definite su un insieme \(E\) si dice equicontinua in E se le funzioni \(f_n\) sono uniformemente continue in \(E\), cioè
\(\forall\epsilon>0,\,\exists\delta=\delta(\epsilon)>0\,\colon\forall x,y\in E,\,\forall n\in N\quad\lvert x-y\rvert<\delta\implies\lvert f_n(x)-f_n(y)\rvert<\epsilon\)

Teorema di Ascoli-Arzelà : da ogni successione di funzioni equilimitate ed equicontinue su un compatto \(K\subset R^n\) si può estrarre una sottosuccessione che converge uniformemente in \(K\) a una funzione continua.

Non l'ho trovato scritto da nessuna parte e, quindi, presumo sia falso ma nel caso in cui la successione di funzioni data soddisfi le ipotesi del teorema, si può ancora affermare che il limite degli integrali è uguale all'integrale del limite ???

[Massimo Gobbino]

Beh, quando sono soddisfatte le ipotesi di Ascoli-Arzelà si ha convergenza uniforme, dunque è possibile scambiare tra di loro limiti ed integrali.

Sulle ipotesi di AA potremmo discutere a lungo. Quella scritta nel post sopra non è davvero l'equi-continuità, ma l'equi-uniforme-continuità (poi sui compatti la prima implica la seconda, per cui al fine del teorema sono equivalenti). E anche l'equilimitatezza (che poi in realtà è equi-compattezza) basta point-wise. Tutti questi dettagli dovrebbero essere discussi nelle lezioni su AA.

[Federico.M]

Grazie per le precisazioni professore. Ho riguardato le dimostrazioni del teorema di Ascoli-Arzelà sugli appunti e, in effetti, le ipotesi sono quelle che ha indicato lei...