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Salve a tutti! Ho sfogliato varie pagine del forum e googlato la cosa ma non ho trovato chiarimenti sufficienti sull'argomento. Probabilmente è una domanda un po' banale ma ci tengo ad avere un chiarimento su di essa. Il mio dubbio è questo
Con le successioni: quando si dice che una successione batte un altra quando va al limite +infinito significa che a(n) batte b(n) se a(n)/b(n) tende a + infinito
e b(n)/a(n) tende a zero. Ora vedendo questo io ho interpretato il termine "battere" come un man mano che n cresce a(n) diventa più grande di b(n) quindi chi batte è chi diventa più grande.

Tuttavia settimana scorsa ho visto le lezioni sugli o piccoli e si dice che f(x) batte g(x) nel limite lim con x-->x0 f(x)/g(x) = 0. Questo fa cadere decisamente la mia interpretazione. Nel senso che più ci si avvicina a x0 f(x) non diventa più grande di g(x) bensì diventa più piccolo perché poi il limite del rapporto è uguale a 0.

Dunque provo a dare una nuova interpretazione del termine battere: f(x) batte g(x) per x che tende a x0 se f(x) va più velocemente di g(x) sul punto x0 quindi f(x) diventa più piccola di g(x) man mano che si ci avvicina a x0 da ciò il rapporto è zero. ad esempio con X^2=o(x) per x --> se guardo il grafico x è una retta mentre x^2 è una parabola più mi avvicino a zero più la distanza di f(x)=x^2 è sempre minore di quella di g(x)=x. in definitiva se x tende a un punto dei reali f(x) batte g(x) in quel punto se il rapporto f(x)/g(x) per x che tende a un pt. è zero mentre se x tende a + o - infinito f(x) batte g(x) se il rapporto f(x)/g(x) tende rispettivamente a + o - infinito

nella terzultima riga intendo X^2=o(x) per x --> 0.

Sì il termine "battere" può essere usato cn significati differenti che dipendono dal particolare contesto, ad esempio:

- \(n\) batte \(\log n\) significa che $\frac{n}{\log n}\to \infty$ poiché entrambe le successioni tendono a infinito

ma

- \(e^{-n}\) batte \(\frac 1 n\) significa che\(\frac{e^{-n}}{\frac 1 n}\to 0\) poiché entrambe le successioni tendono a zero

o per le funzioni

- per \(x\to 0^+\) diciamo che \(x\) batte \(\log x\) perché \(x\log x\to 0\)

e così via.

Per l'o-piccolo invece il discorso è differente in quanto il suo utilizzo risponde ad una precisa definizione, diciamo che in generale (definizione ortodossa):

\(f(x)=o(g(x)) \iff \exists \omega(x)\to 0 \quad f(x)= \omega(x)g(x)\)

e quando \(g(x)\neq 0\) nell'intorno del punto considerato (o solo "pochi" punti che possiamo escludere) la definizione ortodossa è equivalente a questa

\(\frac{f(x)}{g(x)}\to 0\)