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Buongiorno,
ho un problema con questo esercizio. In particolare sono riuscito a trovare il parametro a=1 ottenendo così f(x)=(-x^2)/2.
La mia difficoltà sta nel capire perchè la mia professoressa durante la correzione sin dal primo passaggio abbia diviso tutto per x^2; in tal modo il risultato per a=1 sarebbe f(x)=-1/2, che non è nemmeno un polinomio. Ovviamente le ho chiesto spiegazioni, ma la risposta non è stata d'aiuto. Grazie in anticipo.

Utilizzando la definizione quasi equivalente di equivalenza asintotica imporre che \(f(x)\) abbia ordine di infinitesimo \(2\) per \(x \longrightarrow 0\) vuol dire che esiste un \(c\) reale diverso da \(0\) tale che $$\lim_{x\to 0} {f(x) \over cx^2} =1 \iff \lim_{x\to 0} {f(x) \over x^2} =c$$
Ora facendo qualche passaggio ottieni:
$$\lim_{x\to 0} {x \cos{x} - \log(1+ax) \over x^2} =\lim_{x\to 0} {x (1+o(x))-ax+a^2 \cdot {x^2 \over 2}+o(x^2) \over x^2}=\lim_{x\to 0} {(1-a)x+x^2 \cdot {a^2 \over 2}+o(x^2)\over x^2}$$
Perchè questo sia reale come avevi trovato deve essere \(a=1\) e questo conclude le richieste dell'esercizio. Il tuo procedimento ti ha portato ad affermare \(f(x) \sim {x^2 \over 2}\) che è equivalente a \({f(x) \over x^2 }\sim {1 \over 2}\).

Capisco, grazie mille per la risposta

BlackSavior wrote:in tal modo il risultato per a=1 sarebbe f(x)=-1/2, che non è nemmeno un polinomio.

Questa frase è piena zeppa di inesattezze. Intanto \(-1/2\) è un polinomio, così come lo sono tutte le costanti.

Poi quello che è vero per \(a=1\) è che

\(f(x)=\dfrac{1}{2}x^2+o(x^2).\)

La dimostrazione la puoi anche fare senza dividere, ma limitandoti a sviluppare tutto all'ordine 2. La versione minimalista è la seguente (da esaminare e capire bene soprattutto per quanto riguarda la gestione di o piccolo):

\(x\cos x-\log(1+ax)=x(1+o(x))-ax+\dfrac{1}{2}(ax)^2+o(x^2)=(1-a)x+\dfrac{1}{2}a^2x^2+o(x^2).\)

A questo punto è evidente che occorre porre \(a=1\) per mandare via il termine di ordine 1, e restare solo con il termine di ordine 2.

P.S. Già che ci sono, sposto questa discussione nella sezione corretta.