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Sia f (x) una funzione convessa definita in R ed ivi deriva bile, tale che limite per x-> ad infinito di f (x) risulti uguale a -1 dimostrare che limite per x tendente a infinito di f ' (x) risulta uguale a zero; lo si può dimostrare con Hopital italiano ma mi chiedevo e' possibile dimostrarlo con il teorema di Lagrange?

non l'ho fatto ma direi di sì con lagrange si dovrebbe mostrare facilmente...e non mi pare che la convessità serva...non ho capito invece come faresti con l'hopital

La convessità serve per dire che la derivata prima è monotona, dunque ammette limite. A quel punto la dimostrazione si fa con Lagrange. Si tratta sostanzialmente di una caso speciale del teorema dell'asintoto (vedi per esempio lezioni AM2_16).

x@GIMUSI;
Sì effettivamente hai ragione, anch'io non ho capito bene come lo si può dimostrare con Hopital , anche se viene suggerito, inoltre se considero il limite sempre x-> ad infinito di f (x)/x non da una forma indeterminata,
il fatto che la funzione sia convessa mi dice che la derivata prima e' crescente ed ha quindi limite, d'altronde f (x) e' sempre decrescente visto che ha l' asintoto orizzontale y=-1,
pertanto comunque fissato un punto b>a dove f (a)=0, in quanto sicuramente la funzione interseca l'asse delle ascisse, considero l'intervallo [b,x], ed applico Lagrange quindi (f(x)-f (b))/(x-b)=f'(c) con c interno ad (b,x), ora facendo tendere x ad infinito tale rapporto tende evidentemente a zero, visto che f (x)->-1, ed a e' fissato,
Per cui essendo f'(x) crescente posso concludere che il limite di f'(x) per x-> infinito e' zero, mi sbaglio?
Non sono riuscito a trovare gli appunti sul teorema dell ' asintoto indicati dal Professor Gobbino, mi interesserebbe conoscere la soluzione con Lagrange, e se il teorema di Hopital possa servire anch'esso per una soluzione;
Grazie!

Il teorema dell'asintoto è alla lezione 110 di Analisi 2 del 2015/2016. Anche se il corso è di Analisi 2, si tratta comunque di un teorema di pura Analisi 1.

Certamente si può risolvere l'esercizio anche con l'Hopital. Consideriamo il limite di f(x)/x. Il denominatore è crescente e tende all'infinito, quindi si può applicare l'Hopital nella forma più generale. Il rapporto tra le derivate è f'(x), e questo ha limite per via della convessità. Dunque tale limite, che è il limite di f'(x), deve essere uguale al limite del rapporto f(x)/x, che sappiamo essere uguale a 0 non essendo nemmeno una forma indeterminata.

Sono due soluzioni interessanti, anche se forse quella con Lagrange (come nel teorema dell'asintoto) è più elementare.

Messaggio errato.

Grazie per le risposte!!
Mi chiedevo dato che Hopital si basa sul teorema di Cauchy, e dato che la funzione a denominatore e' y=x, alla fine non e' come ricondursi a Lagrange?
Inoltre nella dimostrazione con Lagrange come faccio a far vedere che se x tende ad infinito anche il punto c di f'(c), dipendente da x deve andare anch'esso ad infinito?
Hanno senso queste osservazioni?

francicko wrote: Inoltre nella dimostrazione con Lagrange come faccio a far vedere che se x tende ad infinito anche il punto c di f'(c), dipendente da x deve andare anch'esso ad infinito?

Non penso che si possa concludere la dimostrazione come l'hai iniziata qualche post qui sopra, perché appunto non si riesce a fare vedere che c tende all'infinito. Volendo procedere con Lagrange, bisogna fare come nel teorema dell'asintoto.

Scusi se insisto, quando ha tempo, mi potrebbe illustrare come si procede se si vuole utilizzare Lagrange?
E quindi il teorema dell'asintoto, perche' ancora non ho le idee chiare.
Grazie!!

Quale può essere il grafico di una funzione siffatta?
Non dovrebbe somigliare ad un arco di parabola decrescente che per x->+infty si avvicina asintoticamente alla retta y=-1(asintoto orizzontale)?

Un esempio potrebbe essere \(f(x)=e^{-x}-1\)

C_Paradise wrote:Un esempio potrebbe essere \(f(x)=e^{-x}-1\)

Ok! Grazie!

Provo a risponderti, comunque trovi questa proposizione nello stampato integrale di analisi 2 dell'anno scorso.

Nel caso in esame consideri \(f(n+1)-f(n) = f'(c_n)\) dove \(c_n \in (n,n+1)\) e questo è il teorema di Lagrange

A questo punto ottieni

\(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} f'(c_n) = \lim_{n \to +\infty} f(n+1)-f(n) = 0\)

dove la prima uguaglianza segue dalla riga precedente

e la seconda segue dall'ipotesi che \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = l \in \mathbb{R}\) il fatto che in questo caso \(l=-1\) non ha alcuna importanza.

Ora essendo \(f\) derivabile e convessa sappiamo che esiste \(\lim_{x \to +\infty} f'(x) \in \mathbb{R} \cup {+\infty}\) quindi comunque presa \(c_n \to +\infty\) deve succedere che

\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f'(x) = \lim_{n \to +\infty} f'(c_n)\)

In particolare scegliendo \(c_n\) come quella del teorema di Lagrange dell'inizio si trova

\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f'(x) = \lim_{n \to +\infty} f'(c_n) = \lim_{n \to +\infty} f(n+1)-f(n) = 0\)

PS: La cosa importante è ottenere \(\lim_{x \to +\infty} f'(x) = \lim_{n \to +\infty} f'(c_n)\) e questo è vero se il limite di sinistra esiste e per avere l'esistenza si usa la convessità e la derivabilità. Il limite di destra invece esiste e fa \(0\) ed è sufficiente che la funzione abbia limite finito e sia derivabile.

Certo poi uno può non sapere che \(\lim_{x \to +\infty} f'(x)\) esista, da quello che abbiamo visto può comunque dire che

\(\displaystyle\liminf_{x \to +\infty} f'(x) \le 0 \le \limsup_{x \to +\infty} f'(x)\)

Un analogo si ha con gli integrali, infatti se \(\int_a^{+\infty} f(x) \,dx\) è convergente vale

\(\displaystyle\liminf_{x \to +\infty} f(x) \le 0 \le \limsup_{x \to +\infty} f(x)\)

se volessimo la versione con il limite cosa dovremmo chiedere? Nella lezione 114 di AM1 di due anni fa c'è la dimostrazione che se

\(f\) è uniformemente continua e \(\int_a^{+\infty} f(x) \,dx\) è convergente allora

\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0\)