Forum Studenti

Salve a tutti.
Sto avendo difficoltà nel risolvere il seguente limite:

\(\displaystyle\lim_{x\to 0} x \cdot\tan\left(xa+\arctan\frac{b}{x}\right)\)

ho provato per prima cosa a supporre i due parametri =1 per studiare il limite "pulito", ma non esco dalla forma indeterminata 0(infinito) che ho provato a risolvere con un cambio di variabile y=arctg(1/x).
Il limite proposto è tratto da un eserciziario dove gli unici strumenti incontrati per il calcolo dei limiti fino a quel punto sono teoremi algebrici,cambi di variabile e lim notevoli.
Un input per qualche ragionamento?
Grazie anticipatamente.

[EDIT by Massimo Gobbino] Ho risistemato la formula

non so se ho interpretato bene il limite ma mi pare che per come è scritto sia nella forma 0*1=0

ci sono delle limitazione al segno di a e b?

No nessuna limitazione.
Provo ad allegare il testo, devo imparare come si scrive con latex...

io proverei a sfruttare la relazione \(arctan(x)=\pm \pi/2-arctan(1/x)\)

rimane un pi/2 in giro che manda a infinito la tg se non sbaglio

ho provato a svolgerlo partendo come detto...fammi sapere se torna anche a te

Uncle wrote:...devo imparare come si scrive con latex...

per il latex puoi dare un'occhiata sul web...qui ad esempio https://en.wikibooks.org/wiki/LaTeX/Mathematics

inoltre negli stessi messaggi che trovi qui...puoi aprirli e vedere come son fatte le formule e usare se occorre il copia/incolla

GIMUSI wrote:ho provato a svolgerlo partendo come detto...fammi sapere se torna anche a te

Ma non saprei rispondere (per ora) in quanto i limiti con gli sviluppi non li ho ancora affrontati...
Tornerò su quello svolgimento a tempo debito allora .
Con strumenti diversi non se ne esce?
Grazie per la disponibilità e la guida per il latex.

Uncle wrote:...
Con strumenti diversi non se ne esce?...

per la prima parte ce la si può cavare con i limiti notevoli (come vedrai ciò è equivalente agli sviluppini utilizzati prima)

per la seconda parte (caso a*b=1) temo invece che non ci sia nulla da fare visto che si deve ricorrere a uno sviluppo di ordine superiore...a meno che non ci sia qualche barbatrucco

allego uno svolgimento della prima parte con i limiti notevoli

ripensandoci meglio credo che si riesca a risolvere abbastanza facilmente anche senza sviluppi, studiando la prima parte come già fatto e poi studiando il caso particolare di a*b=1 sfruttando i limiti notevole e qualche diseguaglianza per cogliere il segno dell'infinito che viene fuori

Effettivamente guardando lo svolgimento nel secondo allegato, che utilizza i notevoli e la relazione dell'arctg, è come il primo proposto omettendo o piccolo.
L'unica cosa che non mi torna è quel meno che salta fuori, magari è una banalità ma non riesco a coglierla.
Per esempio supponendo ab=1 e x che tende a 0+ ?

Uncle wrote:...L'unica cosa che non mi torna è quel meno che salta fuori, magari è una banalità ma non riesco a coglierla...

il segni meno è dovuto al fatto che il coseno al numeratore e il seno al denominatore hanno segno discorde

allego qui lo svolgimento versione "ter" con soli sviluppini

Uncle wrote:...magari è una banalità ma non riesco a coglierla...

...infatti!!

Ok ok ci sono mi convince appieno tutto lo svolgimento mi ero fissato su una strada senza pensare ad altre vie possibili.
Grazie mille.