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Se "a" è un punto di discontinuità di prima specie (o di salto) per una funzione f(x) e APPARTIENE AL SUO DOMINIO, dato che il limite destro e sinistro sono diversi è giusto dire che il limite di f(x) per x che tende ad "a" non esiste?
Quindi quello che è scritto sul mio libro "ogni funzione monotona ha limite in ogni punto del suo dominio" è sbagliato?! Dovrebbe precisare "...esclusi i punti di discontinuità"?

Come spesso accade in matematica, in questo caso c'è solo da mettersi d'accordo. Sia quindi [tex]f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex] una funzione monotona (supponiamo crescente, il caso opposto si tratta analogamente), e sia [tex]x_0 \in \mathbb{R}[/tex] (il discorso si generalizza facilmente a funzioni non definite su tutto [tex]\mathbb{R}[/tex], ove [tex]x_0[/tex] è almeno di accumulazione). Certamente esistono:

- [tex]\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \alpha \le f(x_0)[/tex];
- [tex]\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \beta \ge f(x_0)[/tex].

Chiaramente è facile intuire che possono valere le disuguaglianze strette, anche in entrambi i casi. E' giusto poi dire che, se [tex]\alpha \ne \beta[/tex], allora il seguente limite non esiste:

[tex]\lim_{x \to x_0} f(x)[/tex]

Infatti l'esistenza dei due limiti è garantita, ma l'uguaglianza no (anche qui, è facile creare un controesempio).

Sui libri il cosiddetto Teorema di esistenza del limite per funzioni monotone, che impropriamente dice che ogni funzione monotona ha limite in ogni punto del suo dominio, afferma in realtà che, data (per comodità) [tex]f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex] monotona, allora esistono i seguenti limiti:

- [tex]\lim_{x \to x_0^-} f(x)[/tex], per ogni [tex]x_0 \in \mathbb{R}[/tex];
- [tex]\lim_{x \to x_0^+} f(x)[/tex], per ogni [tex]x_0 \in \mathbb{R}[/tex];
- [tex]\lim_{x \to -\infty} f(x)[/tex];
- [tex]\lim_{x \to +\infty} f(x)[/tex].

E' consigliabile enunciare il teorema in questa forma, in quanto se tu escludessi i punti di discontinuità di terza specie (dove il limite esiste, ma è diverso da [tex]f(x_0)[/tex]) escluderesti alcuni casi... insomma, dillo così e vai sul sicuro.

Qualcosa non ti torna? Scrivi pure

Innanzitutto ti ringrazio, però vorrei segnalarti quello che a me pare un errore. Infatti tu hai scritto: limite sinistro di f(x)=α ≤ f(x0) ma questo mi sembra sbagliato, guarda per esempio il grafico della funzione che ho allegato:

Scusami, forse dovrei precisare che nella figura si considera x0=3 e quindi il limite, per x che tende a 3 da sinistra, della funzione f(x) è maggiore del valore che la funzione assume nel punto x0, infatti lim > f(3)

Scusami, hai ragione, sono davvero uno stupido. Quel punto "da solo" che io ho disegnato sotto, dovrebbe in realtà stare al centro "dei 2 pezzi di funzione", in quanto la funzione è MONOTONA.

Ti sei risposto da solo Se proprio vogliamo essere pignoli, si applica il teorema della permanenza del segno.

Solo un paio di osservazioni su questi argomenti.

Parlare di prima, seconda o terza specie è sempre piuttosto pericoloso, in quanto non sono sicurissimo che ci sia un accordo assoluto su cosa vogliono dire. Molto meglio usare una terminologia che descriva cosa si vuol dire (eliminabile, salto, essenziale):

https://en.wikipedia.org/wiki/Classific ... ntinuities

Spesso in analisi 1 la forma rischia di mangiarsi la sostanza. Questa storia dei limiti destro/sinistro ne è un esempio. La frase "ogni funzione monotona ha limite in ogni punto del suo dominio" coglie l'essenza delle cose (cioè che la monotonia agevola l'esistenza dei limiti), ma dal punto di vista formale è attaccabile in tutti i modi, e potremmo qui fare la gara a chi ne trova di più (inizio io: se il punto è isolato non ha senso fare il limite; viceversa se è di accumulazione ha senso farci il limite anche se non sta nel dominio, ma poi è di accumulazione da destra o da sinistra? e + o - infinito li considero oppure no come punti in cui fare il limite? ed il limite si intende finito oppure reale esteso?).

Se però uno prova a precisare tutto questo, magari cercando di fare un enunciato unico che contenga tutti i casi, allora non si capisce più nulla.