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Salve!
Ho un problema con il seguente limite:

[tex]\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{n!}{e^{n^2}}[/tex],

si può far vedere che il risultato è 0 usando semplicemente il principio di induzione?
Grazie per le eventuali risposte!

ma un bel criterio del rapporto no eh

allego un tentativo alternativo con doppia induzione!!!...ma non me ne assumo alcuna responsabilità eh (e magari ci sono vie più dirette )...che ne dici?

Grazie tante per le risposte!!
Se a posto di [tex]n^2[/tex]a denominatore come esponente abbiamo semplicemente [tex]n[/tex] il nostro limite da come risultato infinito, ed idem sarebbe dimostrabile sempre con l'induzione, giusto?
Quest' ultimo implicherebbe che il limite della radice ennesima di [tex]n![/tex] va ad infinito, risultato che ho visto dimostrato solo con Stirling, o Cesàro.

francicko wrote:il limite della radice ennesima di [tex]n![/tex] va ad infinito, risultato che ho visto dimostrato solo con Stirling, o Cesàro.

... o con un tranquillo criterio rapporto -> radice.

Certo poi uno può dire che il rapporto -> radice è un caso speciale di Cesàro, e che entrambi i criteri hanno il punto centrale della dimostrazione che si fa per induzione ...

In ogni caso, da nessuno dei limiti che si stanno discutendo qui segue il limite della radice n-esima di n!.

Scusi se insisto, ma [tex]\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac {n!}{e^n}[/tex] si può scrivere nella forma [tex]\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac {e^{\log n!}}{e^n}=+\infty[/tex], da qui non si deduce che [tex]\log n![/tex] tende più velocemente ad [tex]+\infty[/tex] di [tex]n[/tex]?
Quindi deve essere [tex]\displaystyle\lim_{n\to\+\infty}\frac {\log n!}{n}=+\infty[/tex], cioe' [tex]\displaystyle\lim_{n\to+\infty}{\log({n!}^{1/n}})=+\infty[/tex], pertanto deve aversi [tex]\displaystyle\lim_{n\to +\infty}{{n!}^{1/n}=+\infty}[/tex] e' un ragionamento errato?

però anche [tex]\frac{e^{2n}}{e^{n}}[/tex] tende a +inf ma [tex]\frac{{2n}}{{n}}[/tex] a 2

Avete ragione! Scusatemi per la banalita' della domanda.

non devi scusarti di nulla, benedetti i dubbi!!! io ne ho tonnellate...