Esistono limiti che possono essere calcolati con lo sviluppo in serie di taylor , ma non con De l'Hopital, o viceversa?
In sostanza quello che mi piacerebbe sapere, è se i due metodi sono in qualche modo equivalenti , visto che ambedue coinvolgono le derivate successive, cioè un limite che può essere calcolato con de l'Hopital può essere calcolato anche con lo sviluppo in serie di taylor, e viceversa.
Saluti!
Metodi di calcolo limiti
Re: Metodi di calcolo limiti
io l’ho capita così:
non direi che sono equivalenti…il teorema di De l’Hopital infatti serve a dimostrare Taylor e non credo che valga il contrario (vd. lez.46 AM1 10/11)
inoltre De l’Hopital è applicabile solo per le forme indeterminate 0/0 o inf/inf e nelle altre ipotesi del teorema (in particolare non vale per dimostrare la non esistenza; vd. lez.31 AM1 10/11); per il calcolo del limite con Taylor invece è richiesto che le funzioni coinvolte siano sviluppabili nel punto in cui si calcola il limite
detto questo, non so quanto sia generalizzabile ma dire che:
se un limite (in forma indeterminata 0/0 o inf/inf) può essere calcolato con Taylor sviluppando fino all’ordine k allora è calcolabile iterando De l’Hopital k volte (vd. lez.33 AM1 10/11); se k=1 il limite è calcolabile con i limiti notevoli o con una applicazione di De l’Hopital
esistono casi nei quali il limite è fatto in punti nei quali non si può applicare lo sviluppo di Taylor ma esistono le condizioni per applicare De l’Hopital, ad esempio in limite notevole:
lim x->[tex]0^+[/tex] xlogx = lim x->[tex]0^+[/tex] logx/(1/x)
non può essere calcolato con Taylor ma con De l’Hopital basta un passaggio
non direi che sono equivalenti…il teorema di De l’Hopital infatti serve a dimostrare Taylor e non credo che valga il contrario (vd. lez.46 AM1 10/11)
inoltre De l’Hopital è applicabile solo per le forme indeterminate 0/0 o inf/inf e nelle altre ipotesi del teorema (in particolare non vale per dimostrare la non esistenza; vd. lez.31 AM1 10/11); per il calcolo del limite con Taylor invece è richiesto che le funzioni coinvolte siano sviluppabili nel punto in cui si calcola il limite
detto questo, non so quanto sia generalizzabile ma dire che:
se un limite (in forma indeterminata 0/0 o inf/inf) può essere calcolato con Taylor sviluppando fino all’ordine k allora è calcolabile iterando De l’Hopital k volte (vd. lez.33 AM1 10/11); se k=1 il limite è calcolabile con i limiti notevoli o con una applicazione di De l’Hopital
esistono casi nei quali il limite è fatto in punti nei quali non si può applicare lo sviluppo di Taylor ma esistono le condizioni per applicare De l’Hopital, ad esempio in limite notevole:
lim x->[tex]0^+[/tex] xlogx = lim x->[tex]0^+[/tex] logx/(1/x)
non può essere calcolato con Taylor ma con De l’Hopital basta un passaggio
GIMUSI