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Ciao a tutti,

stavo calcolando il limite della seguente successione e non sono sicuro se i miei ragionamenti sono corretti,
magari qualcuno puo' far luce su un paio di dubbi che ho:

[tex]\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (x + (-1)^x \sqrt{x} arctan(x)) = +\infty[/tex]

Avrei pensato di fare...raccolgo x che mi sembra quello che conta:

[tex]x\left(1 + \frac{(-1)^x}{x} \frac{\sqrt{x}}{x} \frac{arctan(x)}{x}\right)[/tex]

[tex]\frac{(-1)^x}{x} \rightarrow 0[/tex] (Per il criterio del rapporto an tende a -1)

[tex]\frac{\sqrt{x}}{x} \rightarrow 0[/tex] (La radice tende a 1 e x tende a piu' infinito)

[tex]\frac{arctan(x)}{x} \rightarrow 0[/tex] (Confronto a 3)

Quindi....

[tex]+\infty \left( 1 + 0 * 0 * 0 \right)[/tex]

Quello che vorrei sapere e' se ci sono degli errori nel mio ragionamento.

Grazie 1000!

mateusz wrote:Ciao a tutti,

stavo calcolando il limite della seguente successione e non sono sicuro se i miei ragionamenti sono corretti,
magari qualcuno puo' far luce su un paio di dubbi che ho:

[tex]\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (x + (-1)^x \sqrt{x} arctan(x)) = +\infty[/tex]

quindi anche se metti la x si intende [tex]x \in N[/tex]...anche perché altrimenti [tex](-1)^x[/tex] non avrebbe molto senso in [tex]R[/tex]

mateusz wrote: Avrei pensato di fare...raccolgo x che mi sembra quello che conta:

[tex]x\left(1 + \frac{(-1)^x}{x} \frac{\sqrt{x}}{x} \frac{arctan(x)}{x}\right)[/tex]

mi pare che vada bene

mateusz wrote: [tex]\frac{(-1)^x}{x} \rightarrow 0[/tex] (Per il criterio del rapporto an tende a -1)

o anche per confronto a tre [tex]-1/x \leq -1^x/x \le 1/x[/tex]

mateusz wrote:
[tex]\frac{\sqrt{x}}{x} \rightarrow 0[/tex] (La radice tende a 1 e x tende a piu' infinito)

anche la radice tende a [tex]+\infty[/tex] ma più lentamente...[tex]\frac{\sqrt{x}}{x}= \frac{1}{\sqrt{x}} \rightarrow 0[/tex]

mateusz wrote:
[tex]\frac{arctan(x)}{x} \rightarrow 0[/tex] (Confronto a 3)

esatto visto che [tex]arctan(x) \rightarrow \pi/2[/tex]

mateusz wrote:
Quindi....

[tex]+\infty \left( 1 + 0 * 0 * 0 \right)[/tex]

Quello che vorrei sapere e' se ci sono degli errori nel mio ragionamento.

Grazie 1000!

il risultato è giusto...mi pare che non vada bene solo la considerazione sul limite della radice

Grazie Gimusi.

Svista mia sulla radice, avevo visto un [tex]\sqrt[x]{x}[/tex]

ah ecco mi sembrava strano infatti

mateusz wrote:[tex]\dfrac{(-1)^x}{x} \rightarrow 0[/tex] (Per il criterio del rapporto an tende a -1)

Il rapporto non puoi usare: vale solo tra roba positiva!!! Devi farlo per forza con i Carabinieri.

Grazie prof!