Ciao a tutti,
sto studiando in autonomia per passione le lezioni di analisi 1 del prof Gobbino. Sto seguendo le ultime video lezioni (2017) con interesse. Scrivo qui perché sono ancora confuso sul *pericolosissimo* approccio ai limiti con svolgimento 'a metà'. Già qualche lezione fa non mi era chiarissimo; ora che è ritornato con De L'Hopital ho deciso di venirne a capo.
Ad esempio, prendiamo il pdf della Lezione 27 pag 2 (AM1_17_L027.pdf). Il prof dice che "non si può lasciare la 'x' per poi affrontarla in un secondo momento". Non mi è chiarissimo cosa cambia rispetto all'approccio corretto dei limiti notevoli in cui riconosco un limite notevole e lo affronto uno alla volta, "dando ad ognuno ciò che vuole".
Per caso... il problema è che ho "[LIM.NOTEVOLE] * qualcosa"? Oppure il problema è avere "[LIM.NOTEVOLE] * 0"?
Per quanto riguarda la somma mi sento sicuro... se ogni addendo è un limite notevole sono autorizzato a sostituire... in più direi che per linearità anche nel caso di limite notevole per costante è lecito. Nel caso del prodotto? Se i due fattori sono limiti notevoli sono autorizzato a sostituirli? È forse il problema di avere qualcosa per zero o infinito?
Oppure, nel caso di funzioni composte tipo e^[lim.notevole] o sin([lim.notevole])?
Morale: qual è la regola per capire se sto facendo un limite 'metà per volta'?
C'è qualche linea guida (qualche link a siti/libri va bene lo stesso) per non lasciarsi ingannare?
Grazie in anticipo
Limiti "metà alla volta"
Re: Limiti "metà alla volta"
Sì in generale lo svolgimento dei limiti metà per volta è da evitare perché può condurre a valutazioni errate, quindi quando possibile è meglio non farlo (questa è l'unica regola generale certa).
Ovviamente esistono delle eccezioni e anche se non ho mai trovato una regola generale per queste, direi che in alcuni casi banali la sostituzione è possibile, ad esempio
- la sostituzione è certamente possibile, ad esempio, quando si ha a che fare con espressioni del tipo \(f(x)\pm g(x)\) e \(g(x)\to L\in \mathbb{R}\), allora si può calcolare il limite di \(f(x)\pm L\).
- anche per espressioni del tipo \(\frac{f(x)}{h(x)}\) e \(h(x)\to L\in \mathbb{R}\setminus\{0\}\), allora si può calcolare il limite di \(\frac{f(x)}{L}\).
Più in generale quando ricorrono condizioni analoghe a quelle richieste per l'applicazione dei teoremi algebrici, direi che è possibile calcolare delle porzioni di limite metà per volta ma in altri casi è meglio evitare.
Con riferimento all'esempio della lezione 27 AM1_17, se avessimo una espressione del tipo \(e^x-1-\sin x+mostro(x)\) allora saremmo autorizzati ad osservare che \(e^x-1-\sin x \to 0\) e calcolare direttamente il solo limite di mostro(x). Nell'esempio \(\frac{e^x-1-\sin x+x^2}{\sin^2 x }\) invece la sostituzione non è lecita perché è vero che \(e^x-1-\sin x \to 0\) ma non la quantità è esattamente zero e i termini di ordine \(x^2\) giocano un ruolo determinante.
Ovviamente esistono delle eccezioni e anche se non ho mai trovato una regola generale per queste, direi che in alcuni casi banali la sostituzione è possibile, ad esempio
- la sostituzione è certamente possibile, ad esempio, quando si ha a che fare con espressioni del tipo \(f(x)\pm g(x)\) e \(g(x)\to L\in \mathbb{R}\), allora si può calcolare il limite di \(f(x)\pm L\).
- anche per espressioni del tipo \(\frac{f(x)}{h(x)}\) e \(h(x)\to L\in \mathbb{R}\setminus\{0\}\), allora si può calcolare il limite di \(\frac{f(x)}{L}\).
Più in generale quando ricorrono condizioni analoghe a quelle richieste per l'applicazione dei teoremi algebrici, direi che è possibile calcolare delle porzioni di limite metà per volta ma in altri casi è meglio evitare.
Con riferimento all'esempio della lezione 27 AM1_17, se avessimo una espressione del tipo \(e^x-1-\sin x+mostro(x)\) allora saremmo autorizzati ad osservare che \(e^x-1-\sin x \to 0\) e calcolare direttamente il solo limite di mostro(x). Nell'esempio \(\frac{e^x-1-\sin x+x^2}{\sin^2 x }\) invece la sostituzione non è lecita perché è vero che \(e^x-1-\sin x \to 0\) ma non la quantità è esattamente zero e i termini di ordine \(x^2\) giocano un ruolo determinante.
GIMUSI
Re: Limiti "metà alla volta"
Ok, grazie per la risposta. Intanto mi appiglierò ai due esempi (somma e rapporto con denominatore 'safe') e sul resto proverò ad andare a "sensibilità". Rimane però strano il fatto che non ci siano paletti sicuri nel procedere, e che sia per lo più un approccio euristico.
Grazie
Grazie
Re: Limiti "metà alla volta"
Sì alla fine si tratta anche di sensibilità ma basata su una buona conoscenza degli sviluppi di Taylor (capire quali termini contano) e tanta esperienza su esercizi.elmuz wrote:...e sul resto proverò ad andare a "sensibilità"...
Taylor è un paletto più che sicuro, è un Totem!
GIMUSI