Dubbio criterio rapporto-radice

[studiante]

Salve

Il mio dubbio riguarda la dimostrazione del criterio che viene fatta alla lezione 15 e quella versione liminf limsup a lezione 96.

Nella lezione 15 dopo aver dato la limitazione alla radice n-esima si dice che (nonostante l'arbitrarietà di epsilon) non si può concludere subito che il limite del tipo in mezzo è l e si fa un passaggio in più in cui ci si sbarazza della radice n-esima di roba fissa ponendo un ulteriore disuguaglianza. Quindi si conclude per arbitrarietà di epsilon.

Nella lezione 96 si arriva alla stessa disuguaglianza però qui si passa subito al limite e si conclude immediatamente per arbitrarietà di epsilon.

Non capisco il perché di questa differenziazione, insomma, non potevo passare direttamente al limite anche a lezione 15; o viceversa, non avrei dovuto sbarazzarmi della radice n-esima di roba fissa con una disuguagliana anche a lezione 96?

Sicuramente mi sto prendendo una cantonata ma ringrazio comunque chi me lo farà notare

P.S. allego le due immagini in cui si vedono i passaggi a cui mi riferisco.

[studiante]

Ok credo di aver capito dove sta il mio errore.

Nella lezione 15 uno vorrebbe passare subito al limite e concludere per arbitrarietà di epsilon, tuttavia c'è la seccatura che il limite del centrale potrebbe non esistere, allora ci sono tre vie di uscita:

1- pongo un'altra disuguaglianza dovuta ai limiti dei laterali come viene fatto nella lezione

2- (se proprio voglio passare al limite) divido i casi:
se il centrale ha limite faccio il limite ovunque e concludo che il limite è l
se il centrale non ha limite allora trovo un assurdo, che sostanzialmente sarà porre le disuguaglianze della via di uscita 1, quindi non ho fatto altro che allungare la dimostrazione

3- passo da liminf limsup come a lezione 96, allora lì sì che posso passare subito ai limiti perché liminf limsup esistono sempre, solo che a lezione 15 era un po' prestino per fare liminf limsup

Scusate se ho postato questa stupidaggine scritta anche male, se qualcuno vuol darmi il suo parere è ben accetto

[Massimo Gobbino]

Scusate se ho postato questa stupidaggine scritta anche male

Hai fatto benissimo a postare il tuo dubbio, e anche la risposta che ti sei dato. Direi che hai colto perfettamente il problema, e sono sicuro che la tua spiegazione risulterà utile per molti altri in futuro.

Liminf e limsup hanno proprio quel vantaggio, cioè di non dover mai più prendersi cura di problemi di non esistenza. Per questo molte dimostrazioni, che all'inizio sarebbero in due step, diventano poi di uno step solo. Altri esempi sono il teorema delle medie di Cesaro oppure l'Hopital oppure Cesaro-Stolz. Provate a dimostrarli senza usare liminf/limsup.