Dubbi sul rapporto tra continuità e liminf (scheda 106)

[Lorececco]

Buonasera, vorrei porre un quesito a proposito dell'ultimo esercizio della scheda. Allego PDF. Grazie e buonanotte!

EDIT: ho riletto stamani il PDF rimanendo divertito dalle sciocchezze scritte nel primo capoverso. Per salvare la faccia, posto qui un argomento decente per il valore del liminf della successione. Esso è non negativo dal momento che la successione è a valori positivi, ma d'altronde se fosse strettamente positivo, diciamo l, da un certo n_0 la successione a_n starebbe definitivamente sopra l/2, da cui la serie andrebbe come (n-n_0)*l/2 e divergerebbe, quindi il liminf non può che essere zero.
Lasciar perdere tutte le sciocche considerazioni sul criterio della radice applicato alla cosa sbagliata (!), il sonno della ragione genera mostri; ma il resto dovrebbe essere corretto (più o meno)...

[polvere]

Son d'accordo sull'esercizio. Ma domanda, essendo la successione a valori positivi, non potevi direttamente dire che tende a zero per condizione necessaria? Se così non fosse non potrebbe convergere no?

[Massimo Gobbino]

essendo la successione a valori positivi, non potevi direttamente dire che tende a zero per condizione necessaria?

Certamente, e non serve neppure che la successione sia a valori positivi.

Per questo esercizio la continuità dell'esponenziale non serve a molto. Se per assurdo il liminf fosse maggiore di 1 (minore non può essere, ovviamente), allora per la caratterizzazione (applicata come?) esisterebbe b>1 tale che

\((1+a_n)^n\geq b\) definitivamente,

da cui elevando e spostando

\(a_n\geq\sqrt[n]{b}-1\)

da cui, per confronto (con cosa?), la divergenza della serie.