Limite, limiti notevoli [logaritmo del coseno]

[Fortuna]

Salve di nuovo , il limite che sto affrontando adesso è nella scheda 6 del libro di esercizi di analisi matematica I parte A

Non riesco ad uscire dalla forma indeterminata

Limite per x che tende a 0
[tex]\begin{array}{clr}
& \left( cos x\right) ^{1/sinx}&
\end{array}[/tex]

Quindi 1all'infinito

Utilizzando e-alla sono arrivata a

[tex]e^{(1/sin x) ln cosx}[/tex]

Se moltiplico e divido per x (nell'esponente)
[tex]\begin{array}{rc}
\frac{x}{sin x} \frac{1}{x} ln cosx&
\end{array}[/tex]

Comunque mi ritrovo con 0/infinito

Posso avere un suggerimento per uscire da questo impasse?

Grazie mille

[GIMUSI]

Utilizzando e-alla sono arrivata a...

da qui in poi si chiude facile con gli sviluppini...e dovrebbe venir 1

ignoro altre strade alternative e/o creative...ma ce ne saranno senz'altre eh

[Fortuna]

Stavo cercando di risolverlo con metodologie 'ante o piccolo' perché ancora non ho digerito bene l'o piccolo, dunque :

[tex]\dfrac{\log\cos x}{\sin x}[/tex]

Sostituendo gli sviluppini mi viene

[tex]\dfrac{\log(1+o(x))}{x + o(x)}[/tex]

E da qui?

[EDIT by Massimo Gobbino] Ho risistemato le formule.

[GIMUSI]

io così sul momento avrei sviluppato al secondo ordine ma mi pare che vada bene anche così...osservando che ln(1+o(x))=o(x) puoi concludere

[Fortuna]

Ok ci sono!
mi confondeva avere ln(1+ox) invece del classico ln(1+x) .. non so perché lo vedevo in modo diverso


Grazie mille

PS : il fatto che sia stato risolto con uno scontro di ordine 1 significa che è risolvibile con i limiti notevoli? O vale solo il viceversa?

[GIMUSI]

PS : il fatto che sia stato risolto con uno scontro di ordine 1 significa che è risolvibile con i limiti notevoli? O vale solo il viceversa?

sì credo che con qualche passaggio "furbo" si possa fare con i limiti notevoli (ad esempio con un [edit] 1/2 davanti facendo diventare il [tex]cosx[/tex] sotto log un [tex]cos^2x[/tex] e sostituendolo con [tex]1-sin^2x[/tex]....etc)

mi pare che valgano entrambe le implicazioni...mi pare perché gli sviluppini sono una diretta conseguenza dei limiti notevoli...mi pare eh

[Massimo Gobbino]

Quei limiti con il logaritmo del coseno sono un grande classico dell'epoca "pre o piccolo". Puoi trovare esempi analoghi alla lezione 21 di AM1_15 oppure alla lezione 19 di AM13.