limite

[francicko]

Il limite [tex]xlogx[/tex] per [tex]x[/tex] che tende a [tex]0[/tex] da [tex]0[/tex], e se non sbaglio si può risolvere anche senza l'uso di Hopital, in quanto si può riscrivere nella forma [tex]lim_{t\to infty}(t/e^t)[/tex], ponendo [tex]logx=t[/tex], e dal confronto tra infiniti si deduce che il limite è [tex]0[/tex].
Ora mi chiedevo se ho il limite [tex](logx)^x[/tex], per [tex]x[/tex] che tende a [tex]0[/tex], abbiamo se non erro una forma indeterminata e qualsiasi sostituzione sembrerebbe non portare a nulla, come si può procedere per arrivare alla soluzione?
Io ho notato che [tex]lim_{x\to 0}(1/x^x)=1[/tex], e da qui avrei dedotto che anche il limite [tex](logx)^x[/tex] per [tex]x[/tex] che tende a [tex]0[/tex], è [tex]1[/tex],

[Massimo Gobbino]

Beh, intanto l'espressione [tex](\log x)^x[/tex] non è ben definita in un intorno destro di 0, in quanto sarebbe un esponenziale con base negativa ...

Quindi probabilmente quello che vorresti considerare è [tex]|\log x|^x[/tex]. Questo si fa come sempre passando all'esponenziale, il che porta a calcolare il limite a 0+ di [tex]x\log|\log x|[/tex].

A questo punto basta osservare che

[tex]x\log|\log x|=x|\log x|\cdot\dfrac{\log|\log x|}{|\log x|}[/tex]

ed il gioco è fatto con semplici cambi di variabile